2013 地方卷 数学

已知集合 $U = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \}$ ，集合 $\scriptstyle A = \{ 1 , 2 \}$ $B { = } \{ 2 , 3 \}$ ，则 $C _ { U } ( A \cup B ) =$

命题“对任意 $x \in R$，都有 $x^2 \ge 0$”的否定为

$\sqrt{(3-a)(a+6)}$（$-6 \le a \le 3$）的最大值为

以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.

<table><tr><td>甲组</td><td></td><td>乙组</td></tr><tr><td>9</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>x 2</td><td>1</td><td>5 y 8</td></tr><tr><td>7 4</td><td>2</td><td>4</td></tr></table>

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x、y的值分别为

若 $a<b<c$，则函数 $f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$ 两个零点分别位于区间

已知圆 $C_1$：$(x-2)^2+(y-3)^2=1$，圆 $C_2$：$(x-3)^2+(y-4)^2=9$，$M$、$N$ 分别是圆 $C_1$、$C_2$ 上的动点，$P$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|PM|+|PN|$ 的最小值为

$4\cos 50^\circ - \tan 40^\circ =$

已知复数 $z=\dfrac{5i}{1+2i}$（$i$ 是虚数单位），则 $|z|=$__________．

已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列， $a _ { 1 } = 1$ ，公差 $d \neq 0 , S _ { n }$ 为其前n项和，若 $a _ { 1 } \cdot ~ a _ { 2 } \cdot ~ a _ { 5 }$ 成等比数列， 则 $S _ { 8 } =$

从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 (用数字作答).

如题（14）图，在 $\triangle A B C$ 中， $\angle C = 9 0 ^ { \circ }$ $\angle A = 6 0 ^ { \circ }$ $A B = 2 0$ ，过C作 $\triangle A B C$ 的外接

圆的切线CD， $B D \perp C D$ ，BD与外接圆交于点E，则DE的长 为

在直角坐标系$xOy$中，以原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为$\rho\cos\theta=4$的直线与曲线$\begin{cases}x=t^{2}\\y=t^{3}\end{cases}$（$t$为参数）相交于$A$、$B$两点，则$|AB|=$__________．

若关于实数x的不等式 $| x - 5 | + | x + 3 | < a$ 无解，则实数a的取值范围是

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

设 $f ( x ) = a ( x - 5 ) ^ { 2 } + 6 \ln x$ ，其中 $a \in R$ ，曲线 $y = f ( x )$ 在点（1，f(1)）处的切线与y轴相较于点（0,6）.（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值.

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>奖级</td><td rowspan=1 colspan=1>摸出红、蓝球个数</td><td rowspan=1 colspan=1>获奖金额</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>一等奖</td><td rowspan=1 colspan=1>3红1蓝</td><td rowspan=1 colspan=1>200元</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>二等奖</td><td rowspan=1 colspan=1>3红0蓝</td><td rowspan=1 colspan=1>50元</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>三等奖</td><td rowspan=1 colspan=1>2红1蓝</td><td rowspan=1 colspan=1>10元</td></tr></table>

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；

（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在 $\triangle A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + { \sqrt { 2 } } a b = c ^ { 2 }$

（I）求C；（II）设 $\cos A \cos B = \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 5 } , \frac { \cos ( \alpha + A ) \cos ( \alpha + B ) } { \cos ^ { 2 } \alpha } = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$ ，求 tan α的值.

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题（21）图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率 $e = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ ，过左焦点 $F _ { 1 }$ 作x轴的垂线交椭圆于A、A'两点， $\left| A A ^ { \prime } \right| = 4$ .（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相较于不同的两点P、P'，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若 $P Q \perp P ^ { \prime } Q$ ，求圆Q的标准方程.

题(21) 图