2013 地方卷 数学

在下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线

“$a \leq 0$”“是函数 $f(x)=|(ax-1)x|$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内单调递增”的（　　）

某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在
某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为
88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

已知一元二次不等式 $f(x)<0$ 的解集为 $\left\{x\mid x<-1\text{或}x>\frac{1}{2}\right\}$，则 $f(10^x)>0$ 的解集为（ ）

在极坐标系中，圆 $\rho=2\cos\theta$ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）

函数 y = f(x) 的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到 n(n≥ 2) 个不同的数 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n }$，使得
${ \frac { f ( x _ { 1 } ) } { x _ { 1 } } } { = } { \frac { f ( x _ { 2 } ) } { x _ { 2 } } } { = } \cdots { = } { \frac { f ( x _ { n } ) } { x _ { n } } }$，则n的取值范围为(A) {2,3} (B) {2,3,4}(C) {3,4} (D) {3,4,5}

若函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$ 有极值点 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$，且 $f { \big ( } x _ { 1 } { \big ) } = x _ { 1 }$，则关于x的方程
$3 ( f ( x ) ) ^ { 2 } + 2 a f ( x ) + b = 0$ 的不同实根个数是

若 $\left( x + { \frac { a } { \sqrt [ { 3 } ] { x } } } \right) ^ { 8 }$ 的展开式中 $x ^ { 4 }$ 的系数为7，则实数a=

设 ∆ABC的内角 A,B,C所对边的长分别为 a,b,c.若 $b + c = 2 a$，则 $3 \sin A = 5 \sin B$ 则角C =

已知直线y = a交抛物线 $y = x ^ { 2 }$ 于A,B两点.若该抛物线上存在点C，使得 $\angle A C B$ 为直角，则a的取值范围为

如图，互不相同的点 $A _ { 1 } \} , A _ { 2 } \} . . . A _ { n } \} . .$ .和 $B _ { 1 } , ~ B _ { 2 } \ldots B _ { n } .$ ...分别在角O的两条边上，所有 $A _ { n } B _ { n }$ 相互平行，且所有梯形 $A _ { n } B _ { n } B _ { n + 1 } A _ { n + 1 }$ 的面积均相等.设 $O A _ { n } = a _ { n }$ 若 $a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 2$ 则数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式是

第（1）题图

（本小题满分12分）

设函数 $f ( x ) = a x - ( 1 + a ^ { 2 } ) x ^ { 2 }$，其中 $a { > } 0$，区间 $I = \left\{ x | f ( x ) { > } 0 \right\}$

（I）求I的长度（注：区间 $\left( \alpha , ~ \beta \right)$ 的长度定义为 $\beta - \alpha { \bf \alpha } ) ;$

（Ⅱ）给定常数 $k \in \left( 0 , 1 \right)$，当 $1 - k \leq a \leq 1 + k$ 时，求I长度的最小值.

（本小题满分12分）

设椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 - a ^ { 2 } } = 1$ 的焦点在x轴上

（I）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（ⅡI）设 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ 分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线 $F _ { 2 } P$ 交y轴与点Q，并且 $F _ { 1 } P \bot F _ { 1 } Q$，证明：当a变化时，点P在某定直线上.

（本小题满分13分）

如图，圆锥顶点为P.底面圆心为O，其母线与底面所成的角为 $2 2 . 5 ^ { \circ }$ .AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴 $O P$ 与平面PCD所成的角为 $6 0 ^ { \circ }$

（I）证明：平面 $P A B \bot$ 平面PCD的交线平行于底面；

（II）求 $\cos \angle C O D$