2015 地方卷 数学

若 $(1+i)+(2-3i)=a+bi$（$a,b\in R,i$是虚数单位），则 $a,b$ 的值分别等于（　　）

若集合 $M = \left\{ x \left| - 2 \leq x < 2 \right. \right\}$ $N = \left\{ 0 , 1 , 2 \right\}$ ，则 $M \cap N$ 等于（

下列函数为奇函数的是( )A $y = { \sqrt { x } }$ B． $y = e ^ { x }$ C． Dy x= cos $y = e ^ { x } - e ^ { - x }$

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入 的值为1，则输出 的值为（ ）x y

若直线 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1(a>0,b>0)$ 过点 $(1,1)$，则 $a+b$ 的最小值等于（　　）

若 $\sin \alpha = - \frac { 5 } { 1 3 }$ ，且 为第四象限角，则 的值等于（ tan ）A $\frac { 1 2 } { 5 }$ B $- { \frac { 1 2 } { 5 } }$ C． $\frac { 5 } { 1 2 }$ D $- { \frac { 5 } { 1 2 } }$

设 $\stackrel { } { a } = ( 1 , 2 )$ $\vec { b } = ( 1 , 1 )$ $\stackrel { } { c } = \stackrel { } { a } + k \stackrel { } { b }$．若 $\vec { b } \perp \vec { c }$，则实数 的值等于（ k ）A $- { \frac { 3 } { 2 } }$ B $- { \frac { 5 } { 3 } }$ C． $\frac { 5 } { 3 }$ D $\frac { 3 } { 2 }$

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

正短图

俯规图

A $8 + 2 \sqrt { 2 }$ B $1 1 + 2 { \sqrt { 2 } }$ C $1 4 + 2 \sqrt { 2 }$ D． 15

已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线F M $l : 3 x - 4 y = 0$ 交椭圆于 两点．若E A B, $\left| A F \right| + \left| B F \right| = 4$ ，点 到直线 的距离不小于M l $\frac { 4 } { 5 }$ ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）EA． (0, $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ]$ B． (0, $\frac 3 4 ]$ C $[ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 1 )$ D $[ \frac { 3 } { 4 } , 1 )$

若 $\Delta A B C$ 中， $A C = \sqrt { 3 }$ $A = 4 5 ^ { 0 }$ $C = 7 5 ^ { \mathrm { 0 } }$ ，则 $B C =$

若 $^ { a , b }$ 是函数 $f \left( x \right) = x ^ { 2 } - p x + q \left( p > 0 , q > 0 \right)$ 的两个不同的零点，且 $a , b , - 2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p + q$ 的值等于

(本小题满分 12 分)

等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中， $a _ { 2 } = 4 \ , a _ { 4 } + a _ { 7 } = 1 5$

（Ⅰ）求数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b _ { n } = 2 ^ { a _ { n } - 2 } + n$，求 $b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } + \dotsb + b _ { 1 0 }$ 的值

（本小题满分12分）

已知点 为抛物线F $E : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 的焦点，点 在抛物线 上，且 A m(2, ) E $\left| A F \right| = 3$

（Ⅰ）求抛物线 的方程；E

（Ⅱ）已知点 $G ( - 1 , 0 )$，延长 交抛物线 于点，证明：以点 为圆心且与直线 相切的圆，必与AF E B F GA直线 相切GB

（本题满分 12 分）

如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点， 垂直于圆 所在的平面，且AB O C O A B, RO O $\mathrm { P O } = \mathrm { O B } = 1$

（Ⅰ）若 为线段 的中点，求证 平面 ；D AC A ^C R OD

（Ⅱ）求三棱锥 体积的最大值；P ABC-

（Ⅲ）若 $B C = \sqrt { 2 }$ ，点 在线段 上，求E PB $C E + O E$ 的最小值

（本题满分 12 分）

已知函数 $f \left( x \right) = 1 0 \sqrt { 3 } \sin \frac { x } { 2 } \cos \frac { x } { 2 } + 1 0 \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 }$

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度，再向下平移 $a ~ \mathrm { ~ ( ~ } a > 0 \mathrm { ~ ) ~ }$ 个单位长度后得到函数 $g ( x )$ 的图象，且函数 $g \left( x \right)$ 的最大值为2

（ⅰ）求函数 $g ( x )$ 的解析式；

（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 $x _ { 0 }$ ，使得 $g \left( x _ { 0 } \right) > 0$