2016 地方卷 数学

集合 $A = \{ x | - 2 \leq x \leq 2 \}$ ，Z为整数集，则 $A \cap \mathbf { Z }$ 中元素的个数是（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

设i为虚数单位，则 $( x + i ) ^ { 6 }$ 的展开式中含x⁴的项为（A） $- 1 5 x ^ { 4 }$ （B） $1 5 x ^ { 4 }$ （C） $- 2 0 i x ^ { 4 }$ （D） $2 0 i x ^ { 4 }$

为了得到函数 $y = \sin ( 2 x - \frac { \pi } { 3 } )$ 的图象，只需把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有的点（A）向左平行移动 $\frac { \pi } { 3 }$ 个单位长度 （B）向右平行移动 $\frac { \pi } { 3 }$ 个单位长度（C）向左平行移动 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度 （D）向右平行移动 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度

用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72

某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v 的值为

设 $p$：实数 $x$，$y$ 满足 $(x-1)^2+(y-1)^2\leq2$，$q$：实数 $x$，$y$ 满足 $\begin{cases} y\geq x-1,\\ y\geq1-x,\\ y\leq1, \end{cases}$ 则 $p$ 是 $q$ 的

设 O 为坐标原点，P 是以F为焦点的抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x ( \mathsf { p } > 0 )$ 上任意一点，M是线段PF上的点，且
$\scriptstyle \left| P M \right| = 2 \left| M F \right|$ ,则直线OM的斜率的最大值为（A） $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ （B） $\frac { 2 } { 3 }$ （C） $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ （D）1

设直线 $l _ { 1 } , \ l _ { 2 }$ 分别是函数 $f ( x ) = \begin{array} { l } { \displaystyle \int - \ln x , 0 < x < 1 , } \\ { \displaystyle \ln x , x > 1 , } \end{array}$ 图象上点 $P _ { 1 } , \ P _ { 2 }$ 处的切线， $l _ { 1 }$ 与 $l _ { 2 }$ 垂直相交于点P，
且 $l _ { 1 } , \ l _ { 2 }$ 分别与y 轴相交于点A，B，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

在平面内，定点 $A$，$B$，$C$，$D$ 满足 $\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$，$\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA}=-2$，动点 $P$，$M$ 满足 $\left|\overrightarrow{AP}\right|=1$，$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，则 $\left|\overrightarrow{BM}\right|^2$ 的最大值是

$\cos ^ { 2 } { \frac { \pi } { 8 } } - \sin ^ { 2 } { \frac { \pi } { 8 } } =$ =

同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X的均值是

已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是

正视图

已 知 函 数 f x( )是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 $0 < x < 1$ 时 ， $f ( x ) = 4 ^ { x }$ ， 则$f ( - \frac 5 2 ) + f ( 1 ) =$ =

在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为 $P ( \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { - x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } )$

当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线 ^'C 定义为曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A 的“伴随点”是点 ^' A ，则点 ^' A 的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” ^' C 关于 y 轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是 （写出所有真命题的序列）.

（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.【答案】（Ⅰ）$a =0.30$；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9

（本小题满分 12 分）

在 $\triangle A B C$ 中，角A,B,C所对的边分别是 $^ { a , b , c , }$ 且 ${ \frac { \cos A } { a } } + { \frac { \cos B } { b } } = { \frac { \sin C } { c } }$

（I）证明： $\sin A \sin B = \sin C$

（II）若 $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = \frac { 6 } { 5 } b c$ ，求 $\tan B$

（本小题满分13分）

已知椭圆 $E \colon \ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线

l : $y = - x + 3$ 与椭圆 E有且只有一个公共点 T.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数l，使得 $\left| P T \right| ^ { 2 } = \lambda \left| P A \right| \cdot \left| P B \right|$，并求l的值.