2016 天津卷 · 理 数学

（5分）（2016•天津）已知集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{y} \mid \mathrm{y}=3 \mathrm{x}-2, \mathrm{x} \in \mathrm{A}\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$（ ）

（5分）（2016•天津）设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+2 \geqslant 0 \\ 2 x+3 y-6 \geqslant 0, \\ 3 x+2 y-9 \leqslant 0\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=2 x+5 y$的最小值为（ ）

（5分）（2016•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{AB}=\sqrt{13}, \mathrm{BC}=3, \angle \mathrm{C}=120^{\circ}$ ，则 $\mathrm{AC}=$（）

（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（）

（5分）（2016•天津）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则＂ $\mathrm{q}<0$＂是＂对任意的正整数 $\mathrm{n}, ~ \mathrm{a}_{2 \mathrm{n}-1^{+}} \mathrm{a}_{2 \mathrm{n}}<0^{\prime \prime}$ 的（ ）

（5 分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点，四边形 ABCD 的面积为 2 b ，则双曲线的方程为（ ）

（5分）（2016•天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为（）

（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）

（5分）（2016•天津）已知 $a, b \in R, i$ 是虚数单位，若 $(1+i)(1-b i)=a$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为

（ 5 分）（ $2016 \bullet$ 天津）$\left(\mathrm{x}^{2}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{8}$ 的展开式中 $\mathrm{x}^{7}$ 的系数为 $\_\_\_\_$
（用数字作答）

（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该四棱锥的体积为
$\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$

正视图

俯视图

侧视图

（5分）（2016•天津）如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{BE}=2 \mathrm{AE}=2, \mathrm{~B} \mathrm{D}=\mathrm{ED}$ ，则线段 CE 的长为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2016•天津）已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，若实数 a 满足 $\mathrm{f}\left(2^{|\mathrm{a}-1|}\right)>\mathrm{f}(-\sqrt{2})$ ，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2016•天津）设抛物线 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2 \mathrm{p} \mathrm{t}^{2} \\ \mathrm{y}=2 \mathrm{pt}\end{array}\right.$（t为参数， $\mathrm{p}>0$ ）的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 A 作 1 的垂线，垂足为 B ，设 $\mathrm{C}\left(\frac{7}{2} \mathrm{p}, 0\right), \mathrm{AF}$ 与 BC 相交于点 E ．若 $|\mathrm{CF}|=2 \mid \mathrm{AF} \mid$ ，且 $\triangle \mathrm{ACE}$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 p 的值为 $\_\_\_\_$ ．

三、计算题

（14分）（2016•天津）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1)^{3}-\mathrm{ax}-\mathrm{b}, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}$，其中 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}$。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 存在极值点 $x_{0}$，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)$，其中 $x_{1} \neq x_{0}$，求证：$x_{1}+2 x_{0}=3$；
③设 $\mathrm{a}>0$，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=|\mathrm{f}(\mathrm{x})|$，求证： $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$．

2016年天津市高考数学试卷（理科）