2016 新课标 I 卷 数学

（5分）设集合 $\mathsf { A } = \{ \mathsf { x } | \mathsf { x } ^ { 2 } - 4 \mathsf { x } ^ { + 3 } < 0 \}$ $\mathsf { B } = \left\{ \mathsf { x } \vert 2 \mathsf { x } - 3 { \mathord { \sum } } 0 \right\}$ ，则A∩B=（　　）

（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（　　）A．1 B $\sqrt { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D．2

（5分）已知等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 前9项的和为27， $\mathtt { a } _ { 1 0 } = 8$ ，则 $\mathtt { a } _ { 1 0 0 } \mathtt { = }$ （　　）

（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）A $\frac 1 3$ B $\frac { 1 } { 2 }$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { 3 } { 4 }$

（5分）已知方程 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \mathrm { m } ^ { 2 } + \mathrm { n } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 \mathrm { m } ^ { 2 } - \mathrm { n } } = 1$ 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）

（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 $\frac { 2 8 \pi } { 3 }$ ，则它的表面积是（　　）

（5分）函数 $\mathsf { y } = 2 \mathsf { x } ^ { 2 } - \mathsf { e } ^ { | \mathsf { x } | }$ 在[﹣2，2]的图象大致为（　　）

A

B

C
D

（5分）若a＞b＞1， $\scriptstyle 0 < \mathsf { c } < 1$ ，则（ ）A $\mathsf { a } ^ { \mathsf { c } } < \mathsf { b } ^ { \mathsf { c } }$ B $a b ^ { c } < b a ^ { c }$ C $\mathsf { a l o g } _ { \mathsf { b } } \mathsf { c } < \mathsf { b l o g } _ { \mathsf { a } } \mathsf { c }$ D $\mathsf { l o g } _ { \mathsf { a } } \mathsf { c } { \mathsf { < l o g } _ { \mathsf { b } } \mathsf { c } }$ 【考点】R3：不等式的基本性质

（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知 $\mid \mathsf { A B } \mid = 4 \sqrt { 2 } , \quad \mid \mathsf { D E } \mid = 2 \sqrt { 5 }$ ，则C的焦点到准线的距离为（　　）

（5分）平面α过正方体 $\mathsf { \cdot A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 的顶点A，α∥平面 $\mathsf { C B } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ ，α∩平面AB

CD=m，α∩平面 $A B B _ { 1 } A _ { 1 } = n$ ，则m、n所成角的正弦值为（A $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ D $\frac 1 3$

（5分） $( 2 x + \sqrt { \mathbf { x } } )$ ⁵的展开式中，x³的系数是　10　．（用数字填写答案）

（5分）设等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $a _ { 1 } + a _ { 3 } = 1 0 , a _ { 2 } + a _ { 4 } = 5$ ，则 $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { a } _ { 2 } . . . \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 的最大值为　64

（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000　元

（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD， $\angle A F D = 9 0 ^ { \circ }$ ，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值

（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的

同时购买的易损零件数

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与 $\therefore n = 2 0 .$ 之中选其

一，应选用哪个？

（12分）已知函数f $( \textsf { x } ) = ( \textsf { x } - 2 ) \textsf { e } ^ { \textsf { x } } \mathsf { a } ( \textsf { x } - 1 )$ ）²有两个零点

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设 $\mathbf { \dot { \tau } } _ { \mathbf { X } _ { 1 } } , \mathbf { \Psi } _ { \mathbf { X } _ { 2 } , \mid \mathbf { X } \equiv \mathbf { f } } \mathbf { \Psi } \left( \mathbf { \dot { \tau } } _ { \mathbf { X } } \right)$ 的两个零点，证明： ${ \sf x } _ { 1 } { \sf + x } _ { 2 } { \sf < } 2$

（10分）如图， $\triangle 0 \mathsf { A B }$ 是等腰三角形， $\angle A O B = 1 2 0 ^ { \circ }$ ．以O为圆心， $\frac 1 2 { \mathsf { O A } }$ 为半径作圆

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD

已知函数f $( \times ) = | \times + 1 | - | 2 \times - 3 |$

（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）求不等式 $| { \textsf { f } } ( \mathbf { \theta } _ { \mathbf { X } } ) \mathbf { \theta } | { > } 1$ 的解集