外接球与内切球　·　历年高考数学真题与解析

14.已知球O的体积为 $V _ { 0 } = 4 \sqrt { 3 } \pi$ ，点A，B，C，D均在球表面上，若 $\triangle A B C$ 为正三角形，且$D A = D B = D C = { \sqrt { 2 } }$ ，则 $S _ { \triangle A B C } =$

16．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=4, O$ 为 $A C_{1}$ 的中点，若该正方体的棱与球 $O$ 的球面有公共点，则球 $O$ 的半径的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

16．已知点 $S, A, B, C$ 均在半径为 2 的球面上，$\triangle A B C$ 是边长为 3 的等边三角形，$S A \perp$ 平面 $A B C$ ，则 $S A=$ $\_\_\_\_$ ．

12．已知球 $O$ 的半径为 1 ，四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）

8．已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 $36 \pi$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3}$ ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）

10．已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形，且其顶点都在球 $O$ 的球面上．若球 $O$ 的表面积为 16 $\pi$ ，则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（ ）

10．已知 $A, B, C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，$\odot O_{1}$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆，若 $\odot O_{1}$ 的面积为 $4 \pi$ ，$A B=B C=A C=O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

11．已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形，且其顶点都在球 $O$ 的球面上．若球 $O$ 的表面积为 16 $\pi$ ，则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（ ）

12．已知 $A, B, C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，$\odot O_{1}$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆，若 $\odot O_{1}$ 的面积为 $4 \pi$ ，$A B=B C=A C=O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为

15．已知圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为 $\_\_\_\_$ ．

16．已知圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为 $\_\_\_\_$。

12．已知三棱锥 $P$－
$A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$P A=P B=P C, \triangle A B C$ 是边长为 2 的正三角形，$E, F$ 分别是 $P A, P B$ 的中点，$\angle C E F=90^{\circ}$ ，则球 $O$ 的体积为

10．（5分）设 $A, B, C, D$ 是同一个半径为4的球的球面上四点，$\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $\mathrm{D}-\mathrm{ABC}$ 体积的最大值为（）

12．（5分）设 $A, B, C, D$ 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，$\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为（）

11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 $\_\_\_\_$。

15．（5分）长方体的长、宽、高分别为 $3,2,1$ ，其顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为 $\_\_\_\_$ $14 \pi$ ．

16．（5分）已知三棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABC}$ 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 －若平面 $S C A \perp$ 平面 $S C B, ~ S A=A C, S B=B C$ ，三棱锥 $S-A B C$ 的体积为 9 ，则球 $O$ 的表面积为 $\_\_\_\_$ $36 \pi$ ．

8．（5分）已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

9．（5分）已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

10．（5分）在封闭的直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $A B \perp B C$ ， $A B=6, B C=8, A A_{1}=3$ ，则 $V$ 的最大值是

11．（5分）在封闭的直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $A B \perp B C$ ， $A B=6, B C=8, A A_{1}=3$ ，则 $V$ 的最大值是（）

4．（5分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（

10．（5分）已知 $A$ ，$B$ 是球 $O$ 的球面上两点，$\angle A O B=90^{\circ}$ ，$C$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O-A B C$ 体积的最大值为 36 ，则球 $O$ 的表面积为（）

9．（5分）已知 $A$ ，$B$ 是球 $O$ 的球面上两点，$\angle A O B=90^{\circ}$ ，$C$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O-A B C$ 体积的最大值为 36 ，则球 $O$ 的表面积为（）

10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ，底面边长为 2 ，则该球的表面积为（ ）

5．已知底面边长为 1 ，侧棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

7．一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

8．一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ，底面边长为 2 ，则该球的表面积为

（10）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的6个顶点都在球 $O$ 的球面上．若 $A B=3, A C=4$， $A B \perp A C, A A_{1}=12$，则球 $O$ 的半径为

（10）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的6个顶点都在球 $O$ 的球面上．若 $A B=3, A C=4$， $A B \perp A C, A A_{1}=12$，则球 $O$ 的半径为

12．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 $\_\_\_\_$

10．我国古代数学名著《九章算术》中＂开立圆术＂曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，＂开立圆术＂相当于给出了已知球的体积 V ，求其直径 d 的一个近似公式 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ 。人们还用过一些类似的近似公式。根据 $\mathrm{x}=3.14159 \ldots .$. 判断，下列近似公式中最精确的一个是

11．（5分）已知三棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABC}$ 的所有顶点都在球 O 的表面上，$\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 $\mathrm{SC}=2$ ，则此三棱锥的体积为（）

8．（5分）平面 $\alpha$ 截球 $O$ 的球面所得圆的半径为 1 ，球心 $O$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则此球的体积为（）

（7）
设长方体的长、宽、高分别为 $2 \mathrm{a} , \mathrm{a} , \mathrm{a}$ ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

15．（5分）直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上，若 $A B=A C=A A_{1}=2$ ， $\angle B A C=120^{\circ}$ ，则此球的表面积等于 $\_\_\_\_$ $20 \pi$ ．

15．（5分）已知 $O A$ 为球 $O$ 的半径，过 $O A$ 的中点 $M$ 且垂直于 $O A$ 的平面截球面得到圆 $M$ ．若圆 $M$ 的面积为 $3 \pi$ ，则球 $O$ 的表面积等于 $\_\_\_\_$ $16 \pi$ ．

16．（5分）设 OA 是球 O 的半径， M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 $45^{\circ}$ 角的平面截球 $O$ 的表面得到圆 $C$ ．若圆 $C$ 的面积等于 $\frac{7 \pi}{4}$ ，则球 $O$ 的表面积等于 $\_\_\_\_$ $8 \pi$。

（9）如图，在半径为3的球面上有 A．B．C三点，$\angle A B C=90^{\circ}$ ， $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$ ，球心 O 到平面 ABC 的距离是 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则 B．C 两点的球面距离是

A $\frac{\pi}{3}$
B $\pi$
C $\frac{4}{3} \pi$
D $2 \pi$

12．（5分）已知球的半径为 2 ，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为 2 ，则两圆的圆心距等于（ ）

12．（5分）已知球的半径为 2 ，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为 2 ，则两圆的圆心距等于（ ）

12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ ，则该正方体的表面积为 $\_\_\_\_$ ．

（13）若一个球的体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ ，则它的表面积为 $\_\_\_\_$ ．

（14）如图，已知球 O 点面上四点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C} , \mathrm{D}, \mathrm{DA} \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, D A=A B=B C=\sqrt{3}$ ，则球 $O$ 点体积等于 $\_\_\_\_$。

14、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 ，且该六棱柱的高为 $\sqrt{3}$ ，底面周长为 3 ，那么这个球的体积为 $\_\_\_\_$

（15）如图，已知球 $O$ 的面上四点 $A , B , C , D, D A \perp$ 平面 $A B C$ 。

$A B \perp B C, D A=A B=B C=\sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的体积等于 $\_\_\_\_$。

15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 $\frac{9}{8}$ ，底面周长为 3 ，则这个球的体积为 $\_\_\_\_$。

9．长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的 8 个顶点在同一个球面上，且 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ， $A A_{1}=1$ ，则顶点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 间的球面距离是

9．长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的 8 个顶点在同一球面上，且 $A B=2, A D=\sqrt{3}, A A_{1}=1$ ，则顶点 $A , B$ 间的球面距离是（ ）