2021 北京卷 数学

已知集合 $A = \left\{ x | - 1 < x < 1 \right\}$ $B = \left\{ x | 0 \leq x \leq 2 \right\}$ ，则A∪B=（）

已知 $f(x)$ 是定义在上 $[0,1]$ 的函数，那么“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增”是“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$”的（ ）

某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ 过点 $\left( { \sqrt { 2 } } , { \sqrt { 3 } } \right)$ ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）

$\left\{ a _ { n } \right\}$ 和 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是两个等差数列，其中 $\frac { a _ { k } } { b _ { k } } \big ( 1 \leq k \leq 5 \big )$ 为常值， $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 2 8 8$ $a _ { 5 } = 9 6$ $b _ { 1 } = 1 9 2$ ，则 $b _ { 3 } = ($ ）

函数 $f(x)=\cos x-\cos 2x$，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）

定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨（10mm-25mm），大雨（25mm-50mm），暴雨（50mm-100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

已知圆 $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$ ，直线 $l : y = k x + m$ ，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（入

数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是递增的整数数列，且 $a _ { \mathrm { 1 } } \geq 3$ $a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n } = 1 0 0$ ，则n的最大值为（）

$( x ^ { 3 } - \frac { 1 } { x } ) ^ { 4 }$ 展开式中常数项为

已知抛物线 $C : y ^ { 2 } = 4 x$ ，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且 $\left. F M \right. = 6$ ，则 M的横坐标是作 $M N \perp x$ 轴于N，则 ${ \cal S } _ { \triangle F M N } =$

$\stackrel { } { a } = ( 2 , 1 )$ $\vec { b } = ( 2 , - 1 )$ $\stackrel { } { c } = ( 0 , 1 )$ ，则 $( { \vec { a } } + { \vec { b } } ) \cdot { \vec { c } } =$ ${ \vec { a } } \cdot { \vec { b } } =$

若点 $P ( \cos \theta , \sin \theta )$ 与点 $\mathcal { Q } ( \cos ( \theta + \frac { \pi } { 6 } ) , \sin ( \theta + \frac { \pi } { 6 } ) )$ 关于y轴对称，写出一个符合题意的θ=\_

已知正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ ，点E为 $A _ { 1 } D _ { 1 }$ 中点，直线 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 交平面CDE于点F.

（1）证明：点F为 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点；

（2）若点M 为棱 $A _ { 1 } B _ { 1 }$ 上一点，且二面角 $M - C F - E$ 的余弦值为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 3 }$ ，求 $\frac { A _ { 1 } M } { A _ { 1 } B _ { 1 } }$ 的值.

已知函数 $f { \bigl ( } x { \bigr ) } = { \frac { 3 - 2 x } { x ^ { 2 } + a } }$

(1）若a= 0，求y = f(x)在(1, f(1))处切线方程；

(2） 若函数 f(x)在 x =-1处取得极值，求 f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.

已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 过点A(0,-2)，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 { \sqrt { 5 } }$

（1）求椭圆E的标准方程；

(2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-

3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若 $| P M | ^ { + } | P N | \leqslant 1 5$ ，求k的取值范围.

定义 $R _ { p }$ 数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ：对实数 $\{ p$ ，满足： $\mathrm { ( 1 ) } a _ { 1 } + p \ge 0 \ , a _ { 2 } + p = 0 \ , \textcircled { 2 } \forall n \in N ^ { * } , a _ { 4 n - 1 } < a _ { 4 n } \ ;$ ③

am+n ∈{am + an + p,am + an + p +1} , $m , n \in N ^ { * }$

（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是 $R _ { 2 }$ 数列吗？说明理由；

(2)若 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是 $R _ { 0 }$ 数列，求 $a _ { 5 }$ 的值；

（3）是否存在p，使得存在 $R _ { p }$ 数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，对 $\forall n \in N ^ { * } , S _ { n } \geq S _ { 1 0 } ?$ 若存在，求出所有这样的 $| p ;$ 若不存在，说明理由.