2010 地方卷 · 理 数学

设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为实数，若复数 $\frac{1+2 i}{a+b i}=1+i$ ，则

两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

如果执行右面的程序框图，输入正整数 $n, m$ ，满足 $n \geqslant m$ ，那么输出的 $P$ 等于

设 $\omega>0$ ，函数 $\mathrm{y}=\sin \left(\omega \mathrm{x}+\frac{\pi}{3}\right)+2$ 的图像向右平移 $\frac{4 \pi}{3}$ 个单位后与原图像重合，则 $\omega$ 的最小值是

设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是有正数组成的等比数列，$S_{n}$ 为其前 n 项和。已知 $\mathrm{a}_{2} \mathrm{a}_{4}=1, S_{3}=7$ ，则 $S_{5}=$

设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线为 $1, \mathrm{P}$ 为抛物线上一点， $\mathrm{PA} \perp 1, \mathrm{~A}$ 为垂足。如果直线 AF 的斜率为 $-\sqrt{3}$ ，那么 $|\mathrm{PF}|=$

平面上 $0, \mathrm{~A}, \mathrm{~B}$ 三点不共线，设 $\overline{O A}=a, \overline{O B}=b$ ，则 $\triangle 0 \mathrm{AB}$ 的面积等于

设双曲线的一个焦点为 F ；虚轴的一个端点为 B ，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

已知点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\frac{4}{e^{x}+1}$ 上，$a$ 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 $a$ 的取值范围是
（A）$\left[0, \frac{\pi}{4}\right)$
（B）$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \quad\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right]$
（D）$\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$

如图，网格纸的小正方形的边长是 1 ，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为
$\_\_\_\_$。

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=33, a_{n+1}-a_{n}=2 n$ ，则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 12 分）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 分别为内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边，且

$ 2 a \sin A=(2 a+c) \sin B+(2 c+b) \sin C $

（I）求 A 的大小；
（II）求 $\sin B+\sin C$ 的最大值。

（本小题满分 12 分）
为了比较注射 A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做试验，将这 200 只家兔随机地分成两组，每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B。
（I）甲、乙是 200 只家兔中的 2 只，求甲、乙分在不同组的概率；
（II）下表1和表2分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果。（疱疹面积单位： $\mathrm{mm}^{2}$ ）
表 1：注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表

表2：注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表

（i）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

图 I 注射药物A后皮肤疱疹面积的颇率分布直方图

（ii）完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并回答能否有 $99.9 \%$ 的把握认为＂注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异＂。

表3：

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

（本小题满分 12 分）
已知三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp A B C, A B \perp A C, P A=A C=1 / 2 A B, N$ 为 $A B$ 上一点，$A B=4 A N, M, S$分别为 $\mathrm{PB}, \mathrm{BC}$ 的中点。
（ I ）证明： $\mathrm{CM} \perp \mathrm{SN}$ ；
（II）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小。

（本小题满分 12 分）
设椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 F ，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$

两点，直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}, \overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$ ．
（I）求椭圆 C 的离心率；
（II）如果 $|\mathrm{AB}|=\frac{15}{4}$ ，求椭圆 C 的方程。

（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲如图，$\triangle A B C$ 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E
（I）证明：$\triangle A B E \backsim \triangle A D C$
（II）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} A D \cdot A E$ ，求 $\angle B A C$ 的大小。

（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
已知 P 为半圆 C ：$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\operatorname { c o s }} \boldsymbol{\theta}, \\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\operatorname { s i n }} \boldsymbol{\theta}\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数， $0 \leq \theta \leq \pi$ ）上的点，点 A 的坐标为 $(1,0)$ ，
0 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 $\overparen{\boldsymbol{A P}}$ 的长度均为 $\frac{\pi}{3}$ 。
（I）以 0 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标；
（II）求直线 AM 的参数方程。

（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知 $a, b, c$ 均为正数，证明：$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{2} \geq 6 \sqrt{3}$ ，并确定 $a, b, c$ 为何值时，等号成立。