2010 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知 $(x+i)(1-i)=y$ ，则实数 $x, y$ 分别为

2．若集合 $\mathrm{A}=\{x| | x \mid \leq 1, x \in R\}, \quad \mathrm{B}=\left\{y \mid y=x^{2}, x \in R\right\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$

3．不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$ 的解集是

4． $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)=$

5．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{8}=4$ ，函数 $f(x)=x\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{8}\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$

6．$(2-\sqrt{x})^{8}$ 展开式中不含 $x^{4}$ 项的系数的和为

7． $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是等腰直角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 斜边 AB 上的三等分点，则 $\tan \angle E C F=$

8．直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=4$ 相交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，若 $|M N| \geq 2 \sqrt{3}$ ，则 k 的取值范围是

9．给出下列三个命题： ①函数 $y=\frac{1}{2} \ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 与 $y=\ln \tan \frac{x}{2}$ 是同一函数； ②若函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则函数 $y=f(2 x)$ 与 $y=\frac{1}{2} g(x)$ 的图像也关于直线 $y=x$ 对称； ③若奇函数 $f(x)$ 对定义域内任意 x 都有 $f(x)=f(2-x)$ ，则 $f(x)$ 为周期函数。其中真命题是

10．过正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 A 作直线 L ，使 L 与棱 $A B, A D, A A_{1}$所成的角都相等，这样的直线 L 可以作

11．一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方  法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 $p_{1}$和 $p_{2}$ ，则

12．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 $S(t)(S(0)=0)$ ，则导函数 $y=S^{\prime}(t)$ 的图像大致为 

13．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a}-\vec{b}|=$ $\_\_\_\_$

14．将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）。 

15．点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{32}=1$ 的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于 $2 x_{0}$ ，则 $x_{0}=$

16．如图，在三棱锥 $O-A B C$ 中，三条棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且 $O A>O B>O C$ ，分别经过三条棱 $O A, O B, O C$ 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 的大小关系为 $\_\_\_\_$。 

17．（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x+m \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 。 ①当 $\mathrm{m}=0$ 时，求 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上的取值范围； ②当 $\tan a=2$ 时，$f(a)=\frac{3}{5}$ ，求 m 的值。

18．（本小题满分 12 分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机 （即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 $\xi$ 表示走出迷宫所需的时间。 （1）求 $\xi$ 的分布列； （2）求 $\xi$ 的数学期望。

19．（本小题满分 12 分） 设函数 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)+a x(a>0)$ 。 （1）当 $\mathrm{a}=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间。 （2）若 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 a 的值。

20．（本小题满分 12 分） 如图 $\triangle \mathrm{BCD}$ 与 $\triangle \mathrm{MCD}$ 都是边长为 2 的正三角形，平面 $\mathrm{MCD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}, \mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}, A B=2 \sqrt{3}$ 。 （1）求点 A 到平面 MBC 的距离； （2）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。 

21．（本小题满分 12 分） 设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，抛物线 $C_{2}: x^{2}+b y=b^{2}$ 。 （1）若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率； ②设 $\mathrm{A}(0, \mathrm{~b}), Q\left(3 \sqrt{3}, \frac{5}{4}\right)$ ，又 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 y 轴上的两个交点，若 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的垂心为 $B\left(0, \frac{3}{4} b\right)$ ，且 $\triangle \mathrm{QMN}$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程。

22．（本小题满分 14 分） 证明以下命题： ①对任一正整 a ，都存在整数 $\mathrm{b}, \mathrm{c}(\mathrm{b}<\mathrm{c})$ ，使得 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等差数列。 ②存在无穷多个互不相似的三角形 $\triangle_{\mathrm{n}}$ ，其边长 $a_{\mathrm{n}}, b_{n}, c_{n}$ 为正整数且 $a_{\mathrm{n}}{ }^{2}, b_{n}{ }^{2}, c_{n}{ }^{2}$成等差数列。 ## 2010 年江西高考理科数学真题及答案 ## 第 I 卷