2010 地方卷 · 文 数学

对于实数 $a, b, c$ ，＂$a>b$＂是＂$a c^{2}>b c^{2}$＂的

1．对于实数 $a, b, c$ ，＂$a>b$＂是＂$a c^{2}>b c^{2}$＂的

$(1-x)^{10}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

2．若集合 $A=\{x \| x \mid \leq 1\}, B=\{x \mid x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B=$

不等式 $|x-2|>x-2$ 的解集是

3．$(1-x)^{10}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$\left|a_{1}\right|=1, a_{5}=-8 a_{2}, a_{5}>a_{2}$ ，则 $a_{n}=$

4．若 $f(x)=a x^{4}+b x^{2}+c$ 满足 $f^{\prime}(1)=2$ ，则 $f^{\prime}(-1)=$

有 $n$ 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 $p(0<p<1)$ ，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为

5．不等式 $|x-2|>x-2$ 的解集是

如图，$M$ 是正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $D D_{1}$ 的中点，给出下列命题
（1）过 $M$ 点有且只有一条直线与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都相交；
（2）过 $M$ 点有且只有一条直线与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都垂直；
（3）过 $M$ 点有且只有一个平面与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都相交；

（4）过 $M$ 点有且只有一个平面与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都平行．
其中真命题是：

6．函数 $y=\sin ^{2} x+\sin x-1$ 的值域为

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}|=2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影是 $\_\_\_\_$ ；

7．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$\left|a_{1}\right|=1, a_{5}=-8 a_{2}, a_{5}>a_{2}$ ，则 $a_{n}=$

点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{32}=1$ 的右支上，若点 $A$ 到右焦点的距离等于 $2 x_{0}$ ，则 $x_{0}=$ $\_\_\_\_$ ；

8．若函数 $y=\frac{a x}{1+x}$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则 $a$ 为

（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=6 x^{3}+3(a+2) x^{2}+2 a x$ ．
（1）若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2}=1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。

9．有 $n$ 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 $p(0<p<1)$ ，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为

（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）若 $\tan \alpha=2$ ，求 $f(\alpha)$ ；
（2）若 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $f(x)$ 的取值范围．

10．直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4$ 相交于 $M , N$ 两点，若 $|M N| \geqslant 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是

11．如图，$M$ 是正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $D D_{1}$ 的中点，给出下列命题
（1）过 $M$ 点有且只有一条直线与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都相交；

（2）过 $M$ 点有且只有一条直线与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都垂直；
（3）过 $M$ 点有且只有一个平面与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都相交；
（4）过 $M$ 点有且只有一个平面与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都平行．
其中真命题是：

13．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}|=2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影是 $\_\_\_\_$ ；

13．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}|=2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影是 $\_\_\_\_$ ；

14．将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）；

14．将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）；

15．点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{32}=1$ 的右支上，若点 $A$ 到右焦点的距离等于 $2 x_{0}$ ，则 $x_{0}=$ $\_\_\_\_$ ；

15．点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{32}=1$ 的右支上，若点 $A$ 到右焦点的距离等于 $2 x_{0}$ ，则 $x_{0}=$

16．长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点均在同一个球面上，$A B=A A_{1}=1$ ， $B C=\sqrt{2}$ ，则 $A, B$ 两点间的球面距离为

17．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=6 x^{3}+3(a+2) x^{2}+2 a x$ ．
（1）若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2}=1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。

17．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=6 x^{3}+3(a+2) x^{2}+2 a x$ ．
（1）若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2}=1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。

18．（本小题满分 12 分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道。若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。
（1）求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率；
（2）求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率．

18．（本小题满分 12 分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道。若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。
（1）求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率；
（2）求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率。

19．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）若 $\tan \alpha=2$ ，求 $f(\alpha)$ ；
（2）若 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $f(x)$ 的取值范围．

19．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）若 $\tan \alpha=2$ ，求 $f(\alpha)$ ；
（2）若 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $f(x)$ 的取值范围．