2020 上海卷 数学

集合 $A=\{1,3\}, B=\{1,2, a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

不等式 $\frac{1}{x}>3$ 的解集为 $\_\_\_\_$

函数 $y=\tan 2 x$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$

已知复数 $z$ 满足 $z+2 \bar{z}=6+\mathrm{i}$ ，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$

已知 $3 \sin 2 x=2 \sin x, x \in(0, \pi)$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$

若函数 $y=a \cdot 3^{x}+\frac{1}{3^{x}}$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$

三角形 $A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 中点，$A B=2, B C=3, A C=4$ ，则 $A \vec{D} \cdot \vec{A} B$ $\_\_\_\_$

已知 $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}, a , b \in A$ ，则 $|a|<|b|$ 的情况有 $\_\_\_\_$种

＂$\alpha=\beta$＂是＂ $\sin { }^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1$＂的

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，作垂直于 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , B$ 两点，作垂直于 $y$ 轴的垂线交椭圆于 $C , D$ 两点，且 $A B=C D$ ，两垂线相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是

已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，边长为 $3, P D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）若 $P C=5$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若直线 $A D$ 与 $B P$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $P D$ 的长．

已知各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1$ ．
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{10}=70$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}=\frac{1}{8}$ ，求满足 $S_{n}>100 a_{n}$ 时 $n$ 的最小值．

已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

已知非空集合 $A \subseteq \mathbf{R}$ ，函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $t \in A$ 且 $x \in D$ ，不等式 $f(x) \leq f(x+t)$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 具有 $A$ 性质．
①当 $A=\{-1\}$ ，判断 $f(x)=-x , g(x)=2 x$ 是否具有 $A$ 性质；
②当 $A=(0,1), f(x)=x+\frac{1}{x}, x \in[a,+\infty)$ ，若 $f(x)$ 具有 $A$ 性质，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $A=\{-2, m\}, ~ m \in \mathbf{Z}$ ，若 $D$ 为整数集且具有 $A$ 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 $m$ 的值．