2019 新课标 III 卷 数学

已知集合 $A = \left\{ - 1 , 0 , 1 , 2 \right\}$ $B = \left\{ x \Big | x ^ { 2 } \leq 1 \right\}$ ，则A∩B=（）

若 $z(1 + i) = 2i$，则 $z = ( )$

《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

已知各项均为正数的等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前4项和为15，且 $a _ { 5 } = 3 a _ { 3 } + 4 a _ { 1 }$ ，则 $a _ { 3 } = ~ ( ~ )$

已知曲线 $y = a \mathbf { e } ^ { x } + x \ln x$ 在点 $\left( 1 , a e \right)$ 处的切线方程为 $y = 2 x + b$ ，则（）

如图，点N为正方形ABCD的中心，∆ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点，则（）

执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出S的值等于（）

设 f(x) 是定义域为 R 的偶函数，且在 $\left( 0 , + \infty \right)$ 单调递减，则（）

已知a，b为单位向量，且 $\mathbf { \nabla } _ { \mathbf { \mathcal { a } } } \cdot \mathbf { \nabla } _ { b = 0 }$ ，若 $\pmb { c } = 2 \pmb { a } - \sqrt { 5 } \pmb { b }$ ，则 $\cos < \vec { a } , \vec { c } > =$

记 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和， $a _ { 1 } { \neq } 0 , \ a _ { 2 } { = } 3 a _ { 1 }$ ，则 $\frac { S _ { 1 0 } } { S _ { 5 } } =$

设 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ 为椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 3 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 0 } = 1$ 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若$\triangle M F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为等腰三角形，则M的坐标为

学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体$A B C D / / B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点， $A B { = } B C { = } 6 \mathrm { c m } , A A _ { 1 } { = } 4 \mathrm { c m }$ ，3D打印所用原料密度为 $0 . 9 g / c m ^ { 3 }$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.

∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 $a \sin { \frac { A + C } { 2 } } = b \sin A$

(1)求B;

（2）若∆ABC为锐角三角形，且c=1，求∆ABC面积的取值范围.

图1是由矩形ADEB， $\mathrm { R t } \triangle A B C$ 和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1， $B E { = } B F { = } 2$ $\angle F B C { = } 6 0 ^ { \circ }$ ，将其沿AB，BC折起使得 $B E { \stackrel { \vartriangle } { \vec { \vartriangle } } } B F$ 重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面 $A B C \bot$ 平面BCGE;

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

图1

图2

已知函数 $f ( x ) = 2 x ^ { 3 } - a x ^ { 2 } + b$

（1）讨论f(x)的单调性；

(2）是否存在a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.

已知曲线C: $y = \frac { x ^ { 2 } } { 2 }$ ，D为直线 $y = - \frac { 1 } { 2 }$ 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：

(2) 若以 $E ( 0 , \ { \frac { 5 } { 2 } } )$ 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

如图，在极坐标系 $O x$ 中，A(2,0)， $B ( \sqrt { 2 } , \frac { \pi } { 4 } )$ $C ( \sqrt { 2 } , \frac { 3 \pi } { 4 } )$ $D ( 2 , \pi )$ ，弧 $\widehat { A B }$ ${ \widehat { B C } } , { \widehat { C D } }$ 所在圆的圆心分别是(1,0)， $( 1 , \frac { \pi } { 2 } ) , ( 1 , \pi )$ ，曲线 $M _ { 1 }$ 是弧 $\widehat { A B }$ ，曲线 $M _ { 2 }$ 是弧 $\widehat { B C }$ ，曲线 $M _ { 3 }$ 是弧 $\widehat { C D }$

（1）分别写出M1， $M _ { 2 }$ ， $M _ { 3 }$ 的极坐标方程；

(2) 曲线M由 $M _ { 1 } , \ M _ { 2 } , \ M _ { 3 }$ 构成，若点P在 $M \bot$ ，且 $| O P | { = } { \sqrt { 3 } }$ ，求P的极坐标.