2023 新课标 I 卷 数学（新高考一卷）

已知 $z = \frac { 1 - \mathrm { i } } { 2 + 2 \mathrm { i } }$ ，则 z z- = （ ）

已知向量 $\stackrel { } { a } = ( 1 , 1 ) , \stackrel { } { b } = ( 1 , - 1 )$ ，若 $\left( { \vec { a } } + \lambda { \vec { b } } \right) \perp \left( { \vec { a } } + \mu { \vec { b } } \right)$ ，则（ ）

设函数 $f \left( x \right) = 2 ^ { x \left( x - a \right) }$ 在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是（）

设椭圆 $C _ { 1 } : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + y ^ { 2 } = 1 ( a > 1 ) , C _ { 2 } : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$ 的离心率分别为 $e _ { 1 } , e _ { 2 }$ ．若 $e _ { 2 } = \sqrt { 3 } e _ { 1 }$ ，则a = （ ）

记 $S _ { n }$ 为数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和，设甲： $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列；乙： $\{ { \frac { S _ { n } } { n } } \}$ 为等差数列，则（ ）

已知 $\sin \left( \alpha - \beta \right) = { \frac { 1 } { 3 } } , \cos \alpha \sin \beta = { \frac { 1 } { 6 } }$ ，则 $\cos ( 2 \alpha + 2 \beta ) = ($ ）

有一组样本数据 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { 6 }$ ，其中 $\boldsymbol { x } _ { \ u { 1 } }$ 是最小值， $x _ { 6 }$ 是最大值，则（ ）

噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L _ { p } = 2 0 \times \lg { \frac { p } { p _ { \mathrm { 0 } } } }$ ，其中常数$p _ { \mathrm { 0 } } \bigl ( p _ { \mathrm { 0 } } > 0 \bigr )$ _{是听觉下限阈值，}p _{是实际声压．下表为不同声源的声压级：}

<table><tr><td>声源</td><td>与声源的距离/m</td><td>声压级/dB</td></tr><tr><td>燃油汽车</td><td>10</td><td>60~90</td></tr><tr><td>混合动力汽车</td><td>10</td><td>50~60</td></tr><tr><td>电动汽车</td><td>10</td><td>40</td></tr></table>

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为 $p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 }$ ，则（ ）

下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）

某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）

在正四棱台 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中， $A B = 2 , A _ { 1 } B _ { 1 } = 1 , A A _ { 1 } = \sqrt { 2 }$ ，则该棱台的体积为

已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ ．点 A在C上，点 B在 ^y轴上，$\overrightarrow { F _ { 1 } A } \perp \overrightarrow { F _ { 1 } B } , \overrightarrow { F _ { 2 } A } = - \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { F _ { 2 } B }$ ，则C的离心率为

设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 1$ ．令 $b _ { n } = { \frac { n ^ { 2 } + n } { a _ { n } } }$ ，记 $S _ { n } , T _ { n }$ 分别为数列 $\left\{ a _ { n } \right\} , \left\{ b _ { n } \right\}$ 的前 n项和

（1）若 $3 a _ { 2 } = 3 a _ { 1 } + a _ { 3 } , S _ { 3 } + T _ { 3 } = 2 1$ ，求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（2）若 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 为等差数列，且 $S _ { 9 9 } - T _ { 9 9 } = 9 9$ ，求 $d$

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8．由抽签确定第 1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量 $X _ { i }$ 服从两点分布，且 $P \left( X _ { i } = 1 \right) = 1 - P \left( X _ { i } = 0 \right) = q _ { i } , i = 1 , 2 , \cdots , n$ ，则

$E { \Bigg ( } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } { \Bigg ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } q _ { i }$ ．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求 $E \big ( Y \big )$