2008 地方卷 · 理 数学

在复平面内，复数 $z=\sin 2+i \cos 2$ 对应的点位于

定义集合运算：$A * B=\{z \mid z=x y, x \in A, y \in B\}$ 。设 $A=\{1,2\}, B=\{0,2\}$ ，则集合 $A * B$的所有元素之和为

若函数 $y=f(x)$ 的值域是 $\left[\frac{1}{2}, 3\right]$ ，则函数 $F(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}$ 的值域是

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}=$

在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ，则 $a_{n}=$

函数 $y=\tan x+\sin x-|\tan x-\sin x|$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内的图象大致是

A

B

C

D

已知 1 2F F、是椭圆的两个焦点．满足 1MF· 2MF＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率
的取值范围是
A．(0，1) B．(0，
21] C．(0，

$(1+\sqrt[3]{x})^{6}\left(1+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{10}$ 展开式中的常数项为

若 $0<a_{1}<a_{2}, 0<b_{1}<b_{2}$ ，且 $a_{1}+a_{2}=b_{1}+b_{2}=1$ ，则下列代数式中值最大的是

电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一

时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为

已知函数 $f(x)=2 m x^{2}-2(4-m) x+1, g(x)=m x$ ，若对于任一实数 $x, f(x)$ 与 $g(x)$的值至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是

直角坐标平面内三点 $A(1,2) , B(3,-2) , C(9,7)$ ，若 $E , F$ 为线段 $B C$ 的三等分点，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=$ $\_\_\_\_$。

不等式 $2^{x-\frac{3}{x}+1} \leqslant \frac{1}{2}$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

过抛物线 $x^{2}=2py\,(p>0)$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线，与抛物线分别交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在 $y$ 轴左侧），则 $\frac{|AF|}{|FB|}=$____________________．

（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{\frac{a x}{a x+8}}, x \in(0,+\infty)$ ．
（1）当 $a=8$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）对任意正数 $a$ ，证明： $1<f(x)<2$ ．