2008 地方卷 数学

（5分）（2008•四川）集合 $\mathrm { A = \{ ~ - ~ 1 ~ , ~ 0 ~ , ~ 1 \} ~ }$ ，A 的子集中，含有元素0的子集共有（　　）

（5分）（2008•四川）函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = { \sqrt { 1 - \mathbf { x } } } + \mathbf { l } \mathbf { g } \mathbf { x }$ 的定义域为（　　）A $( 0 , \ + \infty )$ B $( \ - \ \infty , 1 ] \subset . ( \ - \ \infty , \ 0 ) \ \cup [ 1 , \ + \infty )$ D．（0，1]

（5分）（2008•四川） $( 1 + \frac { 1 } { \tt { x } } ) \ ( 1 + { \tt { x } } \ ) \ ^ { \mathrm { ~ 4 ~ } }$ 的展开式中含 $\mathbf { x } ^ { 2 }$ 的项的系数为（　　）

（5分）（2008•四川）不等式 $| \mathbf { x } - 2 | < 1$ 的解集为（　　） A． $\{ \mathbf { x } | 1 { < } \mathbf { x } { < } 3 \}$ B $\{ \mathbf { x } | 0 { < } \mathbf { x } { < } 2 \}$ C $\{ \mathbf { x } | 1 { < } \mathbf { x } { < } 2 \}$ D $\{ \mathbf { x } | 2 < \mathbf { x } < 3 \}$

（5 分）（2008•四川）已知 $\tan a = \frac { 1 } { 2 }$ ，则 $\frac { \cos \alpha + \sin \alpha } { \cos \alpha - \sin \alpha } =$ （　　）

（5分）（2008•四川）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于
这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（　　）
A $\frac { 8 { \sqrt { 3 } } \pi } { 3 }$ B $\frac { { \sqrt { 3 } } \pi } { 6 }$ C $\frac { { \sqrt { 3 } } \pi } { 2 }$ D $\sqrt [ ] { 3 } \pi$

（5分）（2008•四川）若点P（2，0）到双曲线 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathbf { b } ^ { 2 } } = 1$ 的一条渐近线的距离为 ${ \sqrt { 2 } } ,$ 则双曲线的离心率为（　　）

A $\sqrt { 2 }$ B $\sqrt { 3 }$ C $2 \sqrt { 2 } \mathrm { { L } }$ ). $2 \sqrt { 3 }$

（5分）（2008•四川）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（　　）A． $\frac { 1 } { 5 }$ B． $\textstyle { \frac { 1 } { 2 } }$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { 4 } { 5 }$

已知两个单位向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$，则 $\vec{a}+\lambda\vec{b}$ 与 $\lambda\vec{a}-\vec{b}$ 互相垂直的充要条件是（　　）

（5分）（2008•四川）在正方体 $\mathrm { A B C D } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 中，E是棱 $\mathrm { { A } _ { 1 } \mathrm { { B } _ { 1 } } }$ 的中点，则 $\mathrm { A _ { 1 } B }$ 与
$\mathrm { D } _ { 1 } \mathrm { E }$ 所成角的余弦值为（　　）
A． $\frac { \sqrt { 5 } } { 1 0 }$ B $\frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } < . \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$ D $\frac { \sqrt { 1 0 } } { 5 }$

（4 分）（2008•四川）函数 $\mathbf { \Pi } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Pi } = \sqrt { 3 } \mathbf { s } \mathrm { i n } \mathbf { x } - \mathsf { c o s } ^ { 2 } \mathbf { x }$ 的最大值是$\phantom { 0 } _ { - } \sqrt { 3 } \phantom { 0 }$

（12分）（2008•四川）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B 类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望

（12分）（2008•四川）如图，一张平行四边形的硬纸片 $\mathrm { { A B C } _ { 0 } D }$ 中， $\mathrm { \ A D { = } B D { = } 1 }$ $A B = \sqrt { 2 }$ ．沿它的对角线BD 把 $\triangle \mathrm { B D C _ { 0 } }$ 折起，使点 $\mathrm { C } _ { 0 }$ 到达平面 $\mathrm { { A B C } _ { 0 } D }$ 外点C的位置

（Ⅰ）证明：平面 $\mathrm { \ A B C _ { 0 } D \perp }$ 平面 $\mathrm { C B C } _ { 0 }$

（Ⅱ）如果 $\triangle \mathrm { A B C }$ 为等腰三角形，求二面角 A﹣BD﹣C 的大小

（12 分）（2008•四川）在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$2a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2 a_n$．
（Ⅰ）求$\{a_n\}$的通项公式；
（Ⅱ）令$b_n=a_{n+1}-\dfrac{1}{2}a_n$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；
（Ⅲ）求数列$\{a_n\}$的前$n$项和$T_n$．

（12分）（2008•四川）已知椭圆 $C_1$ 的中心和抛物线 $C_2$ 的顶点都在坐标原点 O，$C_1$ 和 $C_2$ 有公共焦点 F，点 F 在 x 轴正半轴上，且 $C_1$ 的长轴长、短轴长及点 F 到 $C_1$ 右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当 $C_2$ 的准线与 $C_1$ 右准线间的距离为 15 时，求 $C_1$ 及 $C_2$ 的方程；
（Ⅱ）设过点 F 且斜率为 1 的直线 $l$ 交 $C_1$ 于 P，Q 两点，交 $C_2$ 于 M，N 两点．当 $|MN|=8$ 时，求 $|PQ|$ 的值．

（14分）（2008•四川）设函数 $\textbf { f } \left( \mathbf { x } \right) = \mathbf { x } ^ { 3 } - \mathbf { x } ^ { 2 } - \mathbf { x } + 2$

（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若当 x∈[﹣1，2]时， $- 3 \leq a \mathrm { f } \mathrm { ~ \left( ~ x ~ \right) ~ } + { \mathbf { b } } \leq 3$ ，求 a﹣b 的最大值