2010 地方卷 · 理 数学

已知全集 $\mathrm{U}=\mathrm{R}$ ，集合 $M=\{x| | x-1 \mid \leq 2\}$ ，则 $C_{U} M=$

已知 $\frac{a+2 i}{i}=b+i(a, b \in R)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $a+b=$

在空间，下列命题正确的是

设 $f(x)$ 为定义在 R 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=2^{x}+2 x+b$（ $b$ 为常数），则 $f(-1)=$

已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(1, \sigma^{2}\right)$ ，若 $P(\xi>2)=0.023$ ，则 $P(-2 \leq \xi \leq 2)=$

样本中共有五个个体，其值分别为 $a, 0,1,2,3$ ，若该样本的平均值为 1 ，则样本方差为

由曲线 $y=x^{2}, y=x^{3}$ 围成的封闭图形面积为

某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，则＂$a_{1}<a_{2}<a_{3}$＂是＂数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列＂的

若对任意 $x>0, \frac{x}{x^{2}+3 x+1} \leq a$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x \sin \varphi+\cos ^{2} x \cos \varphi-\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}+\varphi\right)(0<\varphi<\pi)$ ，其图象过点 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$ ．
（I）求 $\varphi$ 的值；
（II）将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求函数 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值。

（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{3}=7, a_{5}+a_{7}=26 .\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．
（I）求 $a_{4}$ 及 $S_{n}$ ；
（II）令 $b_{n}=\frac{1}{a_{n}^{2}-1}\left(n \in N^{*}\right)$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．