2010 地方卷 · 理 数学

已知 $(x+i)(1-i)=y$ ，则实数 $x, y$ 分别为

若集合 $\mathrm{A}=\{x| | x \mid \leq 1, x \in R\}, \quad \mathrm{B}=\left\{y \mid y=x^{2}, x \in R\right\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$

不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$
的解集是

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)=$

等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{8}=4$ ，函数 $f(x)=x\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{8}\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$

$(2-\sqrt{x})^{8}$ 展开式中不含 $x^{4}$ 项的系数的和为

$\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是等腰直角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 斜边 AB 上的三等分点，则 $\tan \angle E C F=$

直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=4$ 相交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，若 $|M N| \geq 2 \sqrt{3}$ ，则 k 的取值范围是

给出下列三个命题：
①函数 $y=\frac{1}{2} \ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 与 $y=\ln \tan \frac{x}{2}$ 是同一函数；
②若函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则函数 $y=f(2 x)$ 与 $y=\frac{1}{2} g(x)$ 的图像也关于直线 $y=x$ 对称；
③若奇函数 $f(x)$ 对定义域内任意 x 都有 $f(x)=f(2-x)$ ，则 $f(x)$ 为周期函数。其中真命题是

过正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 A 作直线 L ，使 L 与棱 $A B, A D, A A_{1}$所成的角都相等，这样的直线 L 可以作

一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方

法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 $p_{1}$和 $p_{2}$ ，则

如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 $S(t)(S(0)=0)$ ，则导函数 $y=S^{\prime}(t)$ 的图像大致为

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a}-\vec{b}|=$ $\_\_\_\_$

将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）。

点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{32}=1$ 的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于 $2 x_{0}$ ，则 $x_{0}=$

如图，在三棱锥 $O-A B C$ 中，三条棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且 $O A>O B>O C$ ，分别经过三条棱 $O A, O B, O C$ 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 的大小关系为 $\_\_\_\_$。

（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)+a x(a>0)$ 。
（1）当 $\mathrm{a}=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间。
（2）若 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 a 的值。

10.过正方体 1 1 1 1ABCD A B C D-的顶点A作直线L， 使L与棱AB, AD, 1AA
所成的角都相等，这样的直线L可以作

11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他
用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查
两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1p和 2p，则

14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场

馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答） 。