2010 北京卷 数学

（5分）（2010•北京）（北京卷理1）集合 $\mathrm { P } { = } \{ { \mathrm { x } } { \in } Z | 0 { \le } \mathrm { x } { < } 3 \}$ $\mathbf { M } { = } \{ { \mathbf { x } } { \in } Z | { \mathbf { x } } ^ { 2 } { < } 9 \}$ ，则 $\mathrm { P } \cap \mathrm { M } =$
（　　）
A．{1，2} B．{0，1，2} C $\{ \mathbf { x } | 0 { \leq } \mathbf { x } { < } 3 \}$ D $\{ \mathbf { x } | 0 { \leq } \mathbf { x } { \leq } 3 \}$

（5分）（2010•北京）在等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，公比$q\neq1$．若$a_m=a_1a_2a_3a_4a_5$，则$m=$（　　）

（5分）（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（　　）

正（主）视图

侧(左)视图

A

B

C

（5分）（2010•北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）
A $\mathrm { A } _ { 8 } { } ^ { 8 } \mathrm { A } _ { 9 } { } ^ { 2 }$ B $\mathrm { A } _ { 8 } { } ^ { 8 } \mathrm { C } _ { 9 } { } ^ { 2 }$ C ${ \mathrm { A } } _ { 8 } { } ^ { 8 } { \mathrm { A } } _ { 7 } { } ^ { 2 }$ D $\mathrm { A } _ { 8 } { } ^ { 8 } \mathrm { C } _ { 7 } { } ^ { 2 }$

（5分）（2010•北京）极坐标方程 $\begin{array} { r l } { \mathrm { ( \rho - 1 ) } } & { { } \mathrm { ( \theta - \pi ) } = 0 \mathrm { ( \rho { \geq } 0 \mathrm { ) } } } \end{array}$ 表示的图形是（　　）

（5分）（2010•北京）若 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 是非零向量，“$\vec{a} \perp \vec{b}$”是“函数 $f(x) = (\vec{x}\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{x}\vec{b} - \vec{a})$ 为一次函数”的（　　）

（5分）（2010•北京）设不等式组 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } - 1 1 \geqslant 0 } \\ { \qquad \ 3 \mathbf { x } - \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \\ { \qquad \ 5 \mathbf { x } - 3 \mathbf { y } + 9 \leqslant 0 } \end{array} \right.$ 表示的平面区域为D，若指数函数 $\mathbf { \partial y } =$
$\mathbf { a } ^ { \mathrm { X } }$ 的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（　　）

（5分）（2010•北京）如图，正方体 $\mathrm { A B C D } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 的棱长为2，动点E、F在棱 $\mathrm { \bf A } _ { 1 } \mathrm { \bf B } _ { 1 }$ 上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1， $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { E } \mathbf { = } \mathbf { X }$ ，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（　　）

（5分）（2010•北京）在复平面内，复数 $\frac { 2 \mathbf { i } } { 1 - \mathbf { i } }$ 对应的点的坐标为　（﹣1，1）

（5分）（2010•北京）在 $\triangle \mathrm { A B C }$ 中，若b=1， $c = { \sqrt { 3 } } , \ c = { \frac { 2 \pi } { 3 } }$ ，则a= 1

（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知$a= 0.03$

．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为　3

（5分）（2010•北京）如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4 $\scriptstyle \mathrm { B C } = 2 , \mathbf { A D } = 3$ ，则 $D E = 5 \quad ; \ C E = \_ 2 { \sqrt { 7 } } .$

（5分）（2010•北京）已知双曲线 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathsf { b } ^ { 2 } } { = } 1$ 的离心率为2，焦点与椭圆 $\frac { { \mathbf { x } } ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { { \mathbf { y } } ^ { 2 } } { 9 } = 1$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为　（4，0），（﹣4，0）　；渐近线方程为　y=土 $\sqrt { 3 } \mathrm { { x } }$

（5分）（2010•北京）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是 $\mathbf { \nabla } [ \mathbf { y } ] = \mathbf { f } \mathbf { \nabla } \left( \mathbf { x } \right)$ ，则f（x）的最小正周期为　4

；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为　π+1

（13分）（2010•北京）已知函数f（x）=2cos2x+sin²x－4cosx．
（Ⅰ）求f（$\frac{\pi}{3}$）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

（13分）（2010•北京）已知集合$S_n=\{X|X=（x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n）,\ x_i\in\{0,\ 1\},\ i=1,\ 2,\ \ldots,\ n\}$（$n\geq2$）对于$A=（a_1,\ a_2,\ \ldots a_n）$，$B=（b_1,\ b_2,\ \ldots b_n）\in S_n$，定义$A$与$B$的差为$A-B=（|a_1-b_1|,\ |a_2-b_2|,\ \ldots |a_n-b_n|）$；
$A$与$B$之间的距离为$d（A,\ B）=\sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i|$
（Ⅰ）证明：$\forall A,\ B,\ C\in S_n$，有$A-B\in S_n$，且$d（A-C,\ B-C）=d（A,\ B）$；
（Ⅱ）证明：$\forall A,\ B,\ C\in S_n$，$d（A,\ B）$，$d（A,\ C）$，$d（B,\ C）$三个数中至少有一个是偶数
（Ⅲ）设$P\subseteq S_n$，$P$中有$m$（$m\geq2$）个元素，记$P$中所有两元素间距离的平均值为$\overline{d}（P）$．
证明：$\overline{d}（P）\leq\frac{mn}{2（m-1）}$．