2011 大纲卷 · 理 数学

（5分）复数 $z=1+i, \bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}-z-1=$（）

（5分）函数 $y=2 \sqrt{x}(x \geq 0)$ 的反函数为（ ）

（5分）下面四个条件中，使 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ 成立的充分而不必要的条件是

（5分）设 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，公差 $d=2, S_{k+2}-S_{k}=24$ ，则 $\mathrm{k}=$

（5分）设函数 $f(x)=\cos \omega x(\omega>0)$ ，将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值等于（）

（5分）已知直二面角 $\alpha-I-\beta$ ，点 $A \in \alpha, A C \perp I, C$ 为垂足，$B \in \beta, B D \perp I, D$ 为垂足，若 $A B=2, A C=B D=1$ ，则 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离等于（ ）

（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

（5分）曲线 $y=e^{-2 x}+1$ 在点（ 0,2 ）处的切线与直线 $y=0$ 和 $y=x$ 围成的三角形的面积为（ ）

（5分）设 $f(x)$ 是周期为 2 的奇函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时，$f(x)=2 x(1-x)$ ，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=(\quad)$

（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=2 x-4$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\cos \angle \mathrm{AFB}=$（ ）

（5分）已知平面 $\alpha$ 截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 $\alpha$ 成 $60^{\circ}$ 二面角的平面 $\beta$ 截该球面得圆 $N$ ，若该球的半径为 4 ，圆 $M$ 的面积为 $4 \pi$ ，则圆 $N$ 的面积为

（5分）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}$ 满足 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=1, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\frac{1}{2},\langle\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}\rangle=6 0^{\circ}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{c}}|$ 的最大值等于（ ）

（5分）$(1-\sqrt{x})^{20}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数与 $x^{9}$ 的系数之差为 0。

（5分）已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan 2 \alpha=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{4}{3}$ ．

（5分）已知F1、F2分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A∈C，点
M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|$AF2|=$　6　．

（5分）已知 $E$ 、 $F$ 分别在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B B_{1} , C C_{1}$ 上，且 $B_{1} E=2 E B, C F=2 F C_{1}$ ，则面 $A E F$ 与面 $A B C$ 所成的二面角的正切值等于 $-\frac{\sqrt{2}}{3}$

（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3．设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（II）X表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0$ 且 $\frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_{n}}=1$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}$ ，记 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}$ ，证明： $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<1$ ．

（12分）（I）设函数 $f(x)=\ln (1+x) \frac{2 x}{x+2}$ ，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$
（II）从编号1到100的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ，证明：

$$ \mathrm{p}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\frac{1}{\mathrm{e}^{2}} . $$