2012 北京卷 · 理 数学

（5 分）已知集合 $A=\{x \in R \mid 3 x+2>0\}, B=\{x \in R \mid(x+1)(x-3)>0\}$ ，则 $A \cap B=$

（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是

（5 分）设 $a, b \in R$. ＂$a=0$＂是＂复数 $a+b i$ 是纯虚数＂的（）

（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为

（5 分）如图，$\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于点 $D$ ，以 $B D$ 为直径的圆与 $B C$ 交于点 E．则

（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字

的三位数．其中奇数的个数为

（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是

正（主）视图

侧（左）视图

（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（）

（5 分）直线 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=-1-t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \alpha \\ y=3 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）的交点个数为 $\_\_\_\_$ 2 ．

（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$s_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1}=\frac{1}{2}, s_{2}=a_{3}$ ，则 $a_{2}=$ 1 ．

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 $a=2, b+c=7, \cos B=-\frac{1}{4}$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ 4 ．

（5 分）在直角坐标系 $x O y$ 中．直线 $l$ 过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ ．且与该抛物线相交于 $A$ 、 $B$ 两点．其中点 $A$ 在 $x$ 轴上方．若直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ．则 $\triangle$ OAF 的面积为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ．

（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 的值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

（5 分）已知 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+3), g(x)=2^{x}-2$ ，若同时满足条件：
①$\forall x \in R, f(x)<0$ 或 $g(x)<0$ ；
②$\exists x \in(-\infty,-4), f(x) g(x)<0$ ．
则 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （－4，－2） ．

（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。

设 A 是由 $m \times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零，记 $s(m, n)$ 为所有这样的数表构成的集合．对于 $A \in S(m, n)$，记 $r_i(A)$ 为 A 的第 $i$ 行各数之和 $(1 \leqslant i \leqslant m)$，$C_j(A)$ 为 A 的第 $j$ 列各数之和 $(1 \leqslant j \leqslant n)$；记 $K(A)$ 为 $|r_1(A)|$，$|r_2(A)|$，…，$|r_m(A)|$，$|C_1(A)|$，$|C_2(A)|$，…，$|C_n(A)|$ 中的最小值．
（1）如表 A，求 $K(A)$ 的值；
（2）设数表 $A \in S(2,3)$ 形如
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 1 & c \\ \hline a & b & -1 \\ \hline \end{array} $$
求 $K(A)$ 的最大值；

（3）给定正整数 $t$，对于所有的 $A \in S(2,2t+1)$，求 $K(A)$ 的最大值．