2013 江苏卷 数学

函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ A。

设 $z=(2-i)^{2}$（ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的模为 $\_\_\_\_$ A。

双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的两条渐近线的方程为 $\_\_\_\_$ A。

集合 $\{-1,0,1\}$ 共有 $\_\_\_\_$个子集。

右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 $\_\_\_\_$。

抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环），结果如下：

结束

则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 $\_\_\_\_$。

现有某类病毒记作为 $X_{m} Y_{n}$ ，其中正整数 $m, n(m \leq 7, n \leq 9)$ 可以任意选取，则 $m, n$ 都取到奇数的概率为 $\_\_\_\_$。

如图，在三棱柱 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} -A B C$ 中，$D , E , F$ 分别为 $A B , A C , A \mathrm{A}_{1}$ 的中点，设三棱锥F－ADE的体积为 $V_{1}$ ，三棱柱 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ABC 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1}: V_{2}=$ $\_\_\_\_$。

抛物线 $y=x^{2}$ 在 $x=1$ 处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D （包含三角

形内部与边界）。若点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 是区域 D 内的任意一点，则 $x+2 y$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

设 D 、 E 分别是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的边 AB 、 BC 上的点，且 $A D=\frac{1}{2} A B, B E=\frac{2}{3} B C$ 。若 $\overrightarrow{D E}=\lambda_{1} \overrightarrow{A B}+\lambda_{2} \overrightarrow{A C}$（ $\lambda_{1} , \lambda_{2}$ 均为实数），则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}$ 的值为 $\_\_\_\_$。

已知 $f(x)$ 是定义在 R 上的奇函数。当 $x>0$ 时，$f(x)=x^{2}-4 x$ ，则不等式 $f(x)>x$的解集用区间表示为 $\_\_\_\_$。

在平面直角坐标系xoy中，椭圆 C 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，右焦点为 F ，右准线为 $l$ ，短轴的一个端点为 B 。设原点到直线 BF 的距离为 $d_{1}$ ， F 到 $l$ 的距离为 $d_{2}$ 。若 $d_{2}=\sqrt{6} d_{1}$ ，则椭圆 C 的离心率为 $\_\_\_\_$。

15、（本小题满分 14 分）

已知向量 $\vec{a}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \vec{b}=(\cos \beta, \sin \beta), 0<\beta<\alpha<\pi$ 。
（1）若 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$ ，求证：$\vec{a} \perp \vec{b}$ ；
②设 $\vec{c}=(0,1)$ ，若 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ ，求 $\alpha, \beta$ 的值。

19、（本小题满分 16 分）
设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是首项为 $a$ 、公差为 $d$ 的等差数列 $(d \neq 0), S_{n}$ 为其前 $n$ 项和。记 $b_{n}=\frac{n S_{n}}{n^{2}+c}, n \in N^{*}$ ，其中 c 为实数。
（1）若 $\mathrm{c}=0$ ，且 $b_{1}, b_{2}, b_{4}$ 成等比数列，证明：$S_{n k}=n^{2} S_{k}\left(n, k \in N^{*}\right)$
（2）若 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 为等差数列，证明： $\mathrm{c}=0$ 。

20、（本小题满分 16 分）
设函数 $f(x)=\ln x-a x, g(x)=e^{x}-a x$ ，其中 $a$ 为实数。

（1）若 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是单调减函数，且 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围
（2）若 $g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上是单调增函数，试求 $f(x)$ 的零点个数，并证明你的结论。