2014 地方卷 · 文 数学

实部为 -2 ，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的

在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{3}+a_{5}=10$ ，则 $a_{7}=$

某中学有高中生 3500 人，初中生 1500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 $n$ 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 $n$ 为

下列函数为偶函数的是

执行如题（5）图所示的程序框图，则输出 $S$ 的值为

已知命题 $p$：对任意 $x \in R$，总有 $|x| \ge 0$；$q$：$x=1$ 是方程 $x+2=0$ 的根，则下列命题为真命题的是(　　)

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

正衩園

左溗園

满根園

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $\left(\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right)^{2}=b^{2}-3 a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

若 $\log _{4}(3 a+4 b)=\log _{2} \sqrt{a b}$ ，则 $a+b$ 的最小值是 $\quad()$

11．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x+1}-3, & x \in(-1,0] \\ x, & x \in(0,1]\end{array}\right.$, 且 $g(x)=f(x)-m x-m$ 在 $(-1,1]$ 内有且仅有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是（

12．已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，且 $\vec{a}=(-2,-6),|\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

13．将函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到 $y=\sin x$ 的图像，则 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

14．已知直线 $x-y+a=0$ 与圆心为 $C$ 的圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-4=0$ 相交于 $A, B$ 两点，且

$A C \perp B C$ ，则实数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

15．某校早上 8： 00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30－7：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）

16．（本小题满分 13 分．（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，$S_{n}$ 表示 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（I）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$；
（II）设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，公比 $q$ 满足 $q^{2}-\left(a_{4}+1\right) q+S_{4}=0$，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$项和 $T_{n}$．

17．（本小题满分 13 分．（I）小问 4 分，（II）小问 4 分，（III）小问 5 分）
20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：

（I）求频率分布直方图中 $a$ 的值；
（II）分别球出成绩落在［50，60）与［60，70）中的学生人数；
（III）从成绩在 $[50,70)$ 的学生中人选 2 人，求此 2 人的成绩都在 $[60,70)$ 中的概率．

18．（本小题满分 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a+b+c=8$
（I）若 $a=2, b=\frac{5}{2}$ ，求 $\cos C$ 的值；
（II）若 $\sin A \cos ^{2} \frac{B}{2}+\sin B \cos ^{2} \frac{A}{2}=2 \sin C$ ，且 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{9}{2} \sin C$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值．

19．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
已知函数 $f(x)=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-\ln x-\frac{3}{2}$ ，其中 $a \in R$ ，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线垂直于 $y=\frac{1}{2} x$ ．
（I）求 $a$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值．

20．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
如题（20）图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$P O \perp$ 底面 $A B C D$， $A B=2, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M=\frac{1}{2}$．
（I）证明：$B C \perp$ 平面 $P O M$；
（II）若 $M P \perp A P$，求四棱锥 $P-A B M O$ 的体积．

题（20）图

21．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．

题（21）图

（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．

题（21）图