2015 地方卷 数学

若复数Z满足 ${ \frac { \overline { { Z } } } { 1 - i } } = i$ ，其中i为虚数为单位，则Z=（ ）

要得到函数 $y=\sin\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图像，只需要将函数 $y=\sin 4x$ 的图像（ ）

已知菱形ABCD 的边长为a， $\angle A B C = 6 0 ^ { \circ }$ ，则 $\overrightarrow { B D } \cdot \overrightarrow { C D } = \mathrm { ~ ( ~ \Gamma ~ ) ~ }$ A $- { \frac { 3 } { 2 } } a ^ { 2 }$ B $- { \frac { 3 } { 4 } } a ^ { 2 }$ C ${ \frac { 3 } { 4 } } a ^ { 2 }$ D ${ \frac { 3 } { 2 } } a ^ { 2 }$

不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是（ ）A $( - \infty , 4 )$ B． ( ,1)-¥ C．（1，4） D．（1，5）

已知x,y满足约束条件 $\left\{ { \begin{array} { l } { x - y \geq 0 } \\ { x + y \leq 2 } \\ { y \geq 0 } \end{array} } \right.$ ，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）

已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）

（附：若随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N ( \mu , \sigma ^ { 2 } )$

则 $P ( \mu - \sigma < \xi < \mu + \sigma ) = 6 8 . 2 6 \%$ $P ( \mu - 2 \sigma < \xi < \mu + 2 \sigma ) = 9 5 . 4 4 \% _ { \circ }$ ）

一条光线从点（-2，-3）射出，经 y 轴反射后与圆 $( x + 3 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } = 1$ 相切，则反射光线所在直线的斜 率为（ ）

设函数 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 3 x - 1 , x < 1 } \\ { 2 ^ { x } , x \geq 1 } \end{array} \right. }$ ，则满足 $f ( f ( a ) ) = 2 ^ { f ( a ) }$ 的a取值范围是（ ）A． $[ \frac { 2 } { 3 }$ ,1] B．[0，1] C $[ \frac { 2 } { 3 } , + \infty )$ D $[ 1 , + \infty )$

观察下列各式：
$C _ { 1 } ^ { 0 } { = } 4 ^ { 0 }$
$C _ { 3 } ^ { 0 } + C _ { 3 } ^ { 1 } = 4 ^ { 1 }$
$C _ { 5 } ^ { 0 } + C _ { 5 } ^ { 1 } + C _ { 5 } ^ { 2 } = 4 ^ { 2 }$
$C _ { 7 } ^ { 0 } + C _ { 7 } ^ { 1 } + C _ { 7 } ^ { 2 } + C _ { 7 } ^ { 3 } = 4 ^ { 3 }$

照此规律，当当nÎN时， $\mathrm { C ^ { 0 } { } _ { 2 n - 1 } + C ^ { 1 } { } _ { 2 n - 1 } } + \mathrm { C ^ { 2 } { } _ { 2 n - 1 } + \ldots + C ^ { n - 1 } { } _ { 2 n - 1 } }$ =

若 $\cdots \forall \ : \mathrm { x } \in [ 0 , \ : \ : \frac { \pi } { 4 } ]$ ，tanx£m”是真命题，则实数m的最小值为

执行下面的程序框图，输出的T的值为

设 $f ( x ) = \sin x \cos x - \cos x ^ { 2 } ( x + { \frac { \pi } { 4 } } )$ o

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）在锐角DABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若 $\textbf { f } ( \frac { A } { 2 } ) = 0 , \ \mathrm { a = } 1$ ，求面DABC积的最大值。 F

如图，在三棱台 DEF-ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点。

（Ⅰ）求证：BC//平面 FGH；

（Ⅱ）若 CF⊥平面 ABC，AB⊥BC，CF=DE， $\angle B \mathrm { A C } = 4 5 ^ { \circ }$ ，求平面 FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小。

设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ 。已知 $2 S _ { n } = 3 ^ { n } + 3$

（Ⅰ）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 $\left\{ b _ { _ n } \right\}$ 满足 $a _ { n } b _ { n } = \log _ { 3 } ^ { 2 }$ ，求 $\left\{ b _ { _ n } \right\}$ 的前 n 项和 $T _ { \phantom { } _ { n } }$ 。

若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如 137，359，567 等）.

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.

（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.

平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，左、右焦点分别是$F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ 。以 $F _ { 1 }$ 为圆心以3为半径的圆与以 $F _ { 2 }$ 为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆�上。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } = 1$ 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 $y = k x + m$ 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.

（i）求 $\frac { | O Q | } { | O P | }$ 的值；

（ii）求DABQ面积的最大值。

将 $y = k x + m$ 代入椭圆C的方程

21 设函数 $f ( x ) = \ln ( x + 1 ) + a ( x ^ { 2 } - x )$ ，其中 $\alpha \in R$ 0

（Ⅰ）讨论函数f x( )极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若 $\forall _ { x } > 0 , f ( x ) \geq 0$ 成立，求a的取值范围。

2015年高考山东省理科数学真题答案