2016 新课标 I 卷 数学

（5分）设集合 $\cdot \mathsf { A } { = } \{ 1 , \ 3 , \ 5 , \ 7 \}$ $B = \{ { \sf x } | 2 { \leq } { \sf x } { \leq } 5 \}$ ，则A∩B=（　　）

（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）

（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）A $\frac 1 3$ B $\frac 1 2$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { 5 } { 6 }$

（5分） $\triangle A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知 $a = \sqrt { 5 }$ ，c=2，cosA$= \frac { 2 } { 3 }$ ，则b=（　　）A $\sqrt { 2 }$ B $\sqrt { 3 }$ C．2 D．3

（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 $\frac { 1 } { 4 }$ ，则该椭圆的离心率为（　　）A $\frac 1 3$ B $\frac { 1 } { 2 }$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { 3 } { 4 }$

（5分）将函数 $y = 2 \sin ( 2 x + \frac { \pi } { 6 } )$ 的图象向右平移 $\frac { 1 } { 4 }$ 个周期后，所得图象对应的函数为（　　）A $y = 2 \sin ( 2 x + \frac { \pi } { 4 } )$ B $y = 2 \sin ( 2 x + \frac { \pi } { 3 } )$ C $y = 2 \sin ( 2 x - \frac { \pi } { 4 } )$ D $y = 2 \sin ( 2 x - \frac { \pi } { 3 } )$

（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 $\frac { 2 8 \pi } { 3 }$ ，则它的表面积是（　　）

（5分）若a $> \mathsf { b } > 0$ $\scriptstyle 0 < \mathsf { c } < 1$ ，则（　　）

（5分）函数 $\mathsf { y } = 2 \mathsf { x } ^ { 2 } - \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } }$ 在[﹣2，2]的图象大致为（　　）

A

B

C

D

（5分）执行下面的程序框图，如果输入的 $\scriptstyle { \big | } \mathbf { x } = 0$ ， $\mathsf { y } { = } 1$ ，n=1，则输出x，y的值满足（　　）

A $y = 2 x$ B $\forall = 3 \times$ C $\forall = 4 x$ D $\forall \mathbf { = } 5 \mathbf { \times }$

（5分）平面α过正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 的顶点A，α∥平面 $\mathsf { C B } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ ，α∩平面AB$C D = m$ ，α∩平面 $\mathsf { A B B _ { 1 } A _ { 1 } = n }$ ，则m、n所成角的正弦值为（　　）A $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ D． $\frac 1 3$

（5分）若函数$f(x)=x-\frac{1}{3}\sin2x+a\sin x$在$(-\infty,+\infty)$单调递增，则$a$的取值范围是（ ）

（5分）设向量 $\vec{a}= (x,\ x+1)$，$\vec{b}= (1,\ 2)$，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则 $x=$ ______．

（5分）已知θ是第四象限角，且 $\sin ( \theta + \frac { \pi } { 4 } ) = \frac { 3 } { 5 }$ ，则 $\tan ( \theta - \frac { \pi } { 4 } ) = - \frac { 4 } { 3 }$

（5分）设直线 $y = x + 2 a$ 与圆C： $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 2 y - 2 = 0$ 相交于A，B两点，若 $\left| \mathsf { A B } \right| = 2$ ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，则圆C的面积为　4π

（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000　元

（12分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是公差为3的等差数列，数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $\mathsf { b } _ { 1 } = 1$ $b _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 }$ $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \mathsf { b } _ { \mathsf { n } + 1 }$ $+ b _ { n + 1 } = n b _ { n }$

（Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和

（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，$PA=6$，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积

（12分）在直角坐标系xOy中，直线l： $\mathsf { v } { = } \mathsf { t } \ \left( \mathsf { t } { \neq } 0 \right)$ 交y轴于点M，交抛物线C$\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { p } \mathsf { x } \ \left( \mathsf { p } { > } 0 \right)$ 于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H

（Ⅰ）求 $\frac { \vert { \tt O H } \vert } { \vert { \tt O N } \vert }$

（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由

（10分）如图， $\triangle { \sf O A B }$ 是等腰三角形， $\angle A O B = 1 2 0 ^ { \circ }$ ．以O为圆心， $\frac 1 2 { \mathsf { O A } }$ 为半径作圆

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\begin{cases}x=a\cos t\\y=1+a\sin t\end{cases}$（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C₁是哪种曲线，并将C₁的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C₃的极坐标方程为θ=α₀，其中α₀满足tanα₀=2，若曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，求a．