2020 新课标 II 卷 数学

日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指 $O A ^ { \perp }$ 地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）

某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生
喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）

基本再生数 $R _ { 0 ^ { - } }$ 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I ( t ) = { \mathsf { e } } ^ { r t }$ 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与 $R _ { 0 } { \mathrm { : } }$ ，T近似满足 $R _ { 0 }$

$= 1 + r T .$ 有学者基于已有数据估计出 $R _ { 0 } { = } 3 . 2 8$ ，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1
倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）

已知曲线 $C : m x ^ { 2 } + n y ^ { 2 } = 1$ .（ ）

已知a>0，b>0，且$a+b=1$，则（ ）

将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，则 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为

已知直四棱柱 $A B C D -$

$A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的棱长均为2， $\angle B A D { = } 6 0 ^ { \circ }$ ．以 $D _ { 1 }$ 为球心， $\sqrt { 5 }$ 为半径的球面与侧面 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$ 的交线长为

在① $a c = \sqrt { 3 }$ ，② $c \sin A = 3$ ，③ $c = { \sqrt { 3 } } b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由

问题：是否存在 $\triangle A B C$ ，它的内角A B C, , 的对边分别为 $^ { a , b , c }$ ，且 $\sin A = { \sqrt { 3 } } \sin B$ $C = \frac { \pi } { 6 }$ \_?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

已知公比大于1的等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 2 } + a _ { 4 } = 2 0 , a _ { 3 } = 8$

（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（2）求 $a _ { 1 } a _ { 2 } - a _ { 2 } a _ { 3 } + . . . + ( - 1 ) ^ { n - 1 } a _ { n } a _ { n + 1 }$

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5 和 ${ \mathrm { S O } } _ { 2 }$ 浓度（单位： $\mu \mathrm { g } / \mathrm { m } ^ { 3 } \mathrm { ~ , ~ }$ ），得下表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> ${ \mathrm { S O } } _ { 2 }$ PM2.5</td><td rowspan=1 colspan=1>[0,50]</td><td rowspan=1 colspan=1>(50,150]</td><td rowspan=1 colspan=1>(150,475]</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>[0,35]</td><td rowspan=1 colspan=1>32</td><td rowspan=1 colspan=1>18</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>(35,75]</td><td rowspan=1 colspan=1>6</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>(75,115]</td><td rowspan=1 colspan=1>3</td><td rowspan=1 colspan=1>7</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td></tr></table>

（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且 $\mathrm { S O } _ { 2 }$ 浓度不超过 $1 5 0$ ”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> ${ \mathrm { S O } } _ { 2 }$ PM2.5</td><td rowspan=1 colspan=1>[0,150]</td><td rowspan=1 colspan=1>(150,475]</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>[0,75]</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>(75,115]</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr></table>

（3）根据②中的列联表，判断是否有 $9 9 \%$ 的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 ${ \mathrm { S O } } _ { 2 }$ 浓度有关？附： $K ^ { 2 } = \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) }$

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $P ( K ^ { 2 } \geq k )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr></table>

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面 $P A D ^ { \perp }$ 与平面PBC的交线为l

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值