2020 新课标 II 卷 数学

（1–i）⁴=（ ）A. –4 B. 4C. –4i D. 4i

如图，将钢琴上的12个键依次记为 $\vert a _ { 1 } , ~ a _ { 2 } , ~ . . . , ~ a _ { 1 2 }$ .设 $1 { \leq } i { < } j { < } k { \leq } 1 2$ ．若 $k { - } j { = } 3$ 且j–

i=4，则称 $\mathrm { { \dot { \ b { a } } } } _ { i } , { \ b { a } } _ { j } , { \ b { a } } _ { k }$ 为原位大三和弦；若k–j=4且j–

i=3，则称 $\cdot a _ { i } , a _ { j } , a _ { k }$ 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）

已知单位向量a，b的夹角为 $1 6 0 ^ { \circ }$ ，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）

执行右面的程序框图，若输入的 $k { = } 0 , \ a { = } 0$ ，则输出的k为（ ）

若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x - y - 3 = 0$ 的距离为（ ）

设函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - { \frac { 1 } { x ^ { 3 } } }$ ,则 f x( ) （ ）

已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac { 9 { \sqrt { 3 } } } { 4 }$ 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为（ ）

若 $\sin x = - { \frac { 2 } { 3 } }$ ，则 $\cos 2 x =$

记 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和．若 $a _ { 1 } = - 2 , ~ a _ { 2 } + a _ { 6 } = 2$ ，则 $S _ { 1 0 }$ =

若x，y满足约束条件 $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y \geq - 1 , } \\ { x - y \geq - 1 , } \\ { 2 x - y \leq 1 , } \end{array} } \right.$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值是

设有下列四个命题：

$p _ { 1 }$ ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

$p _ { 2 } \colon$ 过空间中任意三点有且仅有一个平面.

$p _ { 3 } \colon$ 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

$p _ { 4 } \colon$ 若直线lÌ平面α，直线 $m \perp$ 平面α，则 $m \perp l .$

则下述命题中所有真命题的序号是

① $p _ { 1 } \wedge p _ { 4 } \textcircled { 2 } p _ { 1 } \wedge p _ { 2 } \textcircled { 3 } \neg p _ { 2 } \vee p _ { 3 } \textcircled { 4 } \neg p _ { 3 } \vee \neg p _ { 4 }$

$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos ^ { 2 } ( \frac { \pi } { 2 } + A ) + \cos A = \frac { 5 } { 4 }$

（1）求A；

（2）若 $b - c = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } a$ ，证明：△ABC是直角三角形

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据 $( x _ { i } , \ y _ { i } ) ( i \mathrm { = } 1 , \ 2 , \ \ . . . , \ 2 0 )$ ，其中x_i和y_i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 $\sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } x _ { i } = 6 0$ $\sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } y _ { i } = 1 2 0 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } = 8 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } ( y _ { i } - \overline { { y } } ) ^ { 2 } = 9 0 0 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ( y _ { i } - \overline { { y } } ) = 8 0 0 .$

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本 $( x _ { i } , \ y _ { i } ) ( i = 1 , \ 2 , \ \ldots , \ 2 0 )$ 的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数 $r = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) } { \displaystyle \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } }$ ${ \sqrt { 2 } } = 1 . 4 1 4 .$

已知椭圆 $C _ { 1 } \colon \ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a { > } b { > } 0 )$ 的右焦点 $F { \overset { \underset { \mathrm { L } } { } } { } }$ 抛物线C₂的焦点重合， $C _ { 1 }$ 的中心与C₂的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C₁于A，B两点，交C₂于C，D两点，且 $| C D | { = } \frac { 4 } { 3 } | A B |$

（1）求 $C _ { 1 }$ 的离心率；

（2）若 $C _ { 1 }$ 的四个顶点到 $C _ { 2 }$ 的准线距离之和为12，求 $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 的标准方程

如图，已知三棱柱ABC–

$A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的底面是正三角形，侧面 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ 是矩形，M，N分别为BC， $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点，P为AM上一点．过 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 和P的平面交AB于E，交AC于F

（1）证明： $A A _ { 1 } / / M N$ ，且平面 $A _ { 1 } A M N \bot$ 平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F _ { : }$

（2）设O为 $\triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中心，若 $A O { = } A B { = } 6$ ，AO//平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F _ { : }$ ，且 $\angle M P N = \frac { \pi } { 3 }$ ，求四棱锥B–$E B _ { 1 } C _ { 1 } F$ 的体积

已知曲线 $C _ { 1 } , \ C _ { 2 }$ 的参数方程分别为C ： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 4 \cos ^ { 2 } \theta , } \\ { y = 4 \sin ^ { 2 } \theta } \end{array} \right.$ （θ为参数）， $C _ { 2 } \colon \begin{array} { l } { \displaystyle \left\{ x = t + \frac { 1 } { t } , \right. } \\ { \displaystyle \left. \vphantom { \int } \ d _ { t } \right\} = t - \frac { 1 } { t } } \end{array}$ （t为

参数）.

（1）将 $C _ { 1 } , \ C _ { 2 }$ 的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 $C _ { 1 } , \ C _ { 2 }$ 的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.