2022 全国乙卷 · 理 数学

设全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，集合 $M$ 满足 $\complement_U M=\{1,3\}$，则（　　）

已知 $z=1-2 i$ ，且 $z+a \bar{z}+b=0$ ，其中 $a, b$ 为实数，则

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=\sqrt{3},|\vec{a}-2 \vec{b}|=3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=$

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\left\{b_{n}\right\}: b_{1}=1+\frac{1}{\alpha_{1}}, \quad b_{2}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}}$ ，
$b_{3}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}}, \cdots$ ，依此类推，其中 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k=1,2, \cdots)$ 。则

设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B(3,0)$ ，若 $|A F|=|B F|$ ，则 $|A B|=$（ ）

执行下边的程序框图，输出的 $n=$

在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则

已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$ ，则 $a_{6}=$（）

已知球 $O$ 的半径为 1，四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，且 $p_{3}>p_{2}>p_{1}>0$ 。记该棋手连胜两盘的概率为 $p$ ，则

双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ ，过 $F_{1}$ 作 $D$ 的切线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $\cos \angle F_{1} N F_{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $C$ 的离心率为（ ）

已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，且 $f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7$ ．若 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称，$g(2)=4$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=(\quad)$

从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\_\_\_\_$。

过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 $\_\_\_\_$。

记函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2}, x=\frac{\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点，则 $\omega$ 的最小值为

已知 $x=x_{1}$ 和 $x=x_{2}$ 分别是函数 $f(x)=2 a^{x}-\mathrm{e} x^{2} \quad(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的极小值点和极大值点．若 $x_{1}<x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$ ．
（1）证明： $2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ；
（2）若 $a=5, \cos A=\frac{25}{31}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．

如图，四面体 $A B C D$ 中，$A D \perp C D, A D=C D, \angle A D B=\angle B D C, E$ 为 $A C$ 的中点．

（1）证明：平面 $B E D \perp$ 平面 $A C D$ ；
（2）设 $A B=B D=2, \angle A C B=60^{\circ}$ ，点 $F$ 在 $B D$ 上，当 $\triangle A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值．

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： $\mathrm{m}^{2}$ ）和材积量（单位： $\mathrm{m}^{3}$ ），得到如下数据：

并计算得 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}=0.038, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}=1.6158, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}=0.2474$ 。
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01 ）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为
$186 \mathrm{~m}^{2}$ ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数 $r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{1.896} \approx 1.377$ ．

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点．
（1）求 $E$ 的方程；
②设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ ．证明：直线 $H N$ 过定点．

在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$ ，（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$ ．
（1）写出 $l$ 的直角坐标方程；
（2）若 $l$ 与 $C$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围．