2022 上海卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知复数 $z=2+i$（其中 $i$ 为虚数单位），则 $z=$ $\_\_\_\_$

2．已知区间 $\mathrm{A}=(-1,2) \mathrm{B}=(1,3)$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$ $\_\_\_\_$

3．求不等式 $\frac{x-1}{x}<0$ 的解集为 $\_\_\_\_$

4．已知角 $\alpha$ 满足： $\tan \alpha=3$ ，则 $\operatorname{t} \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+m y=2 \\ m x+16 y=8\end{array}\right.$ ，若方程组有无穷组解，则 m 的值为 $\_\_\_\_$

6．已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}, \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ 为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的反函数，则 $\mathrm{f}^{\prime}(27)=$ $\_\_\_\_$

7．已知有二项式 $\left(x^{3}+\frac{1}{x}\right)^{12}$ ，其展开式的则 $\mathrm{x}^{4}$ 前的系数为 $\_\_\_\_$

8．在三角形 ABC 中， $\mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=3, A=\frac{\pi}{3}$ ，则 AABC 外接圆的半径为 $\_\_\_\_$

9．设由数字 $1 , 2 , 3 , 4$ 组成上各个位置上数字不能重复的四位数，则大于 2134 的四位数的个数为 $\_\_\_\_$

10．已知直角三角形 ABC ，且 $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2, \mathrm{M}$ 为边 AC 的中点，若 P 在边 AB 上运动（点 P可与 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 重合），则 $\mathrm{MP} \cdot \mathrm{CP}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

11．已知双曲线 $\mathrm{T}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ ，任取双曲线 T 右支上两个不相同的点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，都有 $x \mathrm{x},-\mathrm{yy},>0$ 成立，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$

12．已知奇函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{xe}(0,1)$ 时的解析式为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ ，且 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 关于 $\mathrm{x}=1$ 对称，设方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1$ 的正数根从小到大依次记为 $\mathrm{x}, \mathrm{x}_{2} \cdots, \mathrm{x}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$

13．以下函数的定义域为 R 的 是（ ）

14．已知实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 满足： $\mathrm{a}>\mathrm{b}>\mathrm{c}>\mathrm{d}$ ，则下列选项正确的是（）

15．如图所示，设上海海关楼的钟楼为正方体，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂．在 0 点到 12 点中时针与分针的转动中（包括 0点，但不包括 12 点），相邻两面的时针出现两两相互垂直的情况

的次数为
A． 0
B． 2

D． 12

16．设 $\{\mathrm{a}$,$\} 为等比数列,设 \mathrm{S}$ ，和 T ，分别为 $\{\mathrm{a}\}$ 的前 n 项和与前 n 项积，则下列命题正确的是：

17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．

设有底面半径为 1 的圆柱 $O O, A A$ ，为圆柱的母线．
（1）若 $A A=4$ ，设 $M$ 为 $A A$ ，的中点，求直线 $M O$ 与圆柱上底面所成角；
（2）若过 OO ，的轴截面为正方形，求圆柱 OO ，的侧面积和体积

18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．

设有无穷数列 $\{\mathrm{a}$.$\} ,记 \{\mathrm{a}\}$ 的前 n 项和为 S ，其中 $\mathrm{a}_{2}=1$
（1）若 $\{\mathrm{a}$,$\} 为等比数列,且 \mathrm{S}_{2}=3$ ，求く $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$

（2）若 $\{a$,$\} 为等差数列,且 \mathrm{S}_{2} \geq \mathrm{n}$ ，求公差 d 的取值范围．