2025 天津卷 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．已知集合 $U=\{1,2,3,4,5\}, A=\{1,3\}, B=\{2,3,5\}$ ，则 $\mathrm{C}_{U}(A \cup B)=$

3．已知函数 $y=f(x)$ 的图象如下，则 $f(x)$ 的解析式可能为

4．若 $m$ 为直线，$\alpha, \beta$ 为两个平面，则下列结论中正确的是

5．下列说法中错误的是

6．$S_{n}=-n^{2}+8 n$ ，则数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前12项和为

7．函数 $f(x)=0.3^{x}-\sqrt{x}$ 的零点所在区间是

8．$f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,-\pi<\varphi<\pi)$ ，在 $\left[-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$ 上单调递增，且 $x=\frac{\pi}{12}$ 为它的一条对称轴，$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 是它的一个对称中心，当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x)$ 的最小值为

9．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以右焦点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$ 与双曲线交于另一象限点为 $P$ ，若 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=3\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则双曲线的离心率 $e=$

10． 已知 i 是虚数单位，则 $\left|\frac{3+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\right|=$ $\_\_\_\_$．

11． 在 $(x-1)^{6}$ 的展开式中，$x^{3}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$．

12． $l_{1}: x-y+6=0$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$ 交于 C、D 两点，第7页／共21页

$|A B|=3|C D|$ ，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

13．小桐操场跑圈，一周 2 次，一次 5 圈或 6 圈．第一次跑 5 圈或 6 圈的概率均为 0.5 ，若第一次跑 5 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.4 ， 6 圈的概率为 0.6 ；若第一次跑 6 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.6 ， 6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 $\_\_\_\_$；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为 $X$ ，则期望 $E(x)=$ $\_\_\_\_$

14．V $A B C$ 中，$D$ 为 $A B$ 边中点， $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$（用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示），若 $|\overrightarrow{A E}|=5$ ， $A E \perp C B$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}=$ $\_\_\_\_$

15．若 $a, b \in \mathrm{R}$ ，对 $\forall x \in[-2,2]$ ，均有 $(2 a+b) x^{2}+b x-a-1 \leq 0$ 恒成立，则 $2 a+b$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

16．在V $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a \sin B=\sqrt{3} b \cos A, c-2 b=1, a=\sqrt{7}$ ．

（1） 求 $A$ 的值；
（2） 求 $c$ 的值；
（3） 求 $\sin (A+2 B)$ 的值．

17．正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, E , F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, C_{1} B_{1}$ 中点，$C G=3 G C_{1}$ ．

（1）求证：$G F \perp$ 平面 $F B E$ ；

（2）求平面 $F B E$ 与平面 $E B G$ 夹角的余弦值；
（3）求三棱锥 $D-F B E$ 的体积．

18．已知随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A, P$ 为 $x=a$ 上一点，且直线 $P F$ 的斜率为$\frac{1}{3}, \triangle P F A$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

（1） 求椭圆的方程；
（2） 过点 $P$ 的直线与椭圆有唯一交点 $B$（异于点 $A$ ），求证：$P F$ 平分 $\angle A F B$ ．

19．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，$a_{1}=b_{1}=2, a_{2}=b_{2}+1, a_{3}=b_{3}$ ．

（1） 求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
② $\forall n \in \mathrm{~N}^{*}, I \in\{0,1\}$ ，有 $T_{n}=\left\{p_{1} a_{1} b_{1}+p_{2} a_{2} b_{2}+\ldots+p_{n-1} a_{n-1} b_{n-1}+p_{n} a_{n} b_{n} \mid p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n-1}, p_{n} \in I\right\}$ ，
（i） 求证：对任意实数 $t \in T_{n}$ ，均有 $t<a_{n+1} b_{n+1}$ ；
（ii） 求 $T_{n}$ 所有元素之和。

20．已知函数 $f(x)=a x-(\ln x)^{2}$

① $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
② $f(x)$ 有 3 个零点，$x_{1}, ~ x_{2}, ~ x_{3}$ 且 $\left(x_{1}<x_{2}<x_{3}\right)$ 。
（i） 求 $a$ 的取值范围；
（ii） 证明 $\left(\ln x_{2}-\ln x_{1}\right) \cdot \ln x_{3}<\frac{4 \mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$ ．