2025 新课标 II 卷 数学（新高考二卷）

1.2，8，14，16，20平均数为（）

$z = 1 + i , \frac { 1 } { z - 1 } = ( )$

A = {−4,0,1,2,8} $B = \{ x \mid x ^ { 3 } = x \}$ , A∩B= ( )

$\triangle A B C$ $B C = 2$ $A C = 1 + { \sqrt { 3 } }$ $A B = { \sqrt { 6 } }$ , A = ( )

抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 焦点F， $A \in C$ ，过A作C准线的垂线，垂足为B.若 $l _ { B F } : y = - 2 x + 2$ ，则|AF|=（）

$S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前n项和， $S _ { 3 } = 6$ $S _ { 5 } = - 5$ $S _ { 6 } = \mathbf { \Omega } $ ()

$0 < \alpha < \pi$ $\cos { \frac { \alpha } { 2 } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$ $\sin ( \alpha - { \frac { \pi } { 4 } } ) =$ )

$S _ { n }$ 为等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前n项和，q为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 公比， $q > 0$ $S _ { 3 } = 7$ $a _ { 3 } = 1$ ，则（）

双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 左右焦点为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，左右顶点为 $A _ { 1 }$ ， $A _ { 2 }$ .以 $F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，且 $\angle N A _ { 1 } M = \frac { 5 \pi } { 6 }$ ，则（）

$x = 2$是 $f(x) =(x$−1)(x−2)(x − a)的极值点，则 f(0) = .

一个底面半径为 $4 c m$ ，高为9cm的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球.则铁球半径的最大值为 cm

（13分） $f ( x ) = \cos ( 2 x + \varphi ) ( 0 \leq \varphi < \pi ) , f ( 0 ) = { \frac { 1 } { 2 } }$

(1) 求 $\varphi$ i

② $g ( x ) = f ( x ) + f ( x - \frac { \pi } { 6 } )$ ，求g(x)的值域和单调区间.

（15分）椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，长轴长为4.

（1）求C的方程；

(2）过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点，若 $S _ { \triangle O A B } = \sqrt { 2 }$ ，求 $\left| A B \right|$

（15分）. 如图，四边形ABCD中， $A B \parallel C D$ $\angle D A B = 9 0 ^ { \circ }$ ，F为CD中点，E在AB上， $E F \mid \mid A D \ , A B = 3 A D , C D = 2 A D$ 。将四边形 EFDA 沿 EF翻折至四边形

$E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ ，使得面 $E F D ^ { ' } A$ 与面EFCB所成的二面角为60°

（1）证明： $\dot { A ^ { \prime } } B \parallel$ 平面 $C D ^ { ' } F$

(2) 求面 $B C D '$ 与面 $E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ 所成二面角的正弦值.

（17分） $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - k x ^ { 3 } , 0 < k < \frac { 1 } { 3 }$

(1）证明：f(x)在(0,+∞)存在唯一极值点和唯一零点；

② 设 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ 为 f(x)在(0,+∞)的极值点和零点；

(i) $g ( t ) = f ( x _ { 1 } + t ) - f ( x _ { 1 } - t )$ 。证明：g(t)在 $\left( 0 , x _ { 1 } \right)$ 单调递减.

（ii）比较 $2 x _ { 1 } x _ { 2 }$ 的大小，并证明.

19. （17分）

甲、乙乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 $p ( \frac { 1 } { 2 } < p < 1 )$ 乙胜的概率为 $q \ , p + q = 1$ ，且各球胜负独立。对正整数 $k \geq 2$ ，记 $p _ { k }$ 为打完k个球后，甲比乙至少多得2分的概率， $q _ { k }$ 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。

（1）求 $p _ { 3 } , p _ { 4 }$ (用p表示);

(2) 若 ${ \frac { p _ { 4 } - p _ { 3 } } { q _ { 4 } - q _ { 3 } } } = 4$ ，求p；

（3）证明：对任意正整数m， $p _ { 2 m + 1 } - q _ { 2 m + 1 } < p _ { 2 m } - q _ { 2 m } < p _ { 2 m + 2 } - q _ { 2 m + 2 } .$