2010 北京卷 · 理 数学

（5分）（2010•北京）（北京卷理1）集合$P={x$∈Z|0≤x＜3}，$M={x$∈Z|x2＜9}，则P∩$M=$
（　　）

（5分）（2010•北京）在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$ ，公比 $q \neq 1$ 。若 $a_{m}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ ，则 $m=$（ ）

（5分）（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为

正（主）视图

侧（左）视图

（5分）（2010•北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（　　）

（5分）（2010•北京）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（　　）

（5分）（2010•北京）若 ， 是非零向量，“⊥”是“函数
为一次函数”的（　　）

（5分）（2010•北京）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y-11 \geqslant 0 \\ 3 x-y+3 \geqslant 0 \\ 5 x-3 y+9 \leqslant 0\end{array}\right.$ 表示的平面区域为D，若指数函数 $y= \mathrm{a}^{\mathrm{x}}$ 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是（）

（5分）（2010•北京）如图，正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的棱长为 2 ，动点 $\mathrm{E} , \mathrm{~F}$ 在棱 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$上，动点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 分别在棱 $\mathrm{AD}, \mathrm{CD}$ 上，若 $\mathrm{EF}=1, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{E}=\mathrm{x}, \mathrm{DQ}=\mathrm{y}, \mathrm{DP}=\mathrm{z} ~(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 大于零），则四面体 PEFQ 的体积（ ）

（5分）（2010．北京）在复平面内，复数 $\frac{2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 对应的点的坐标为 $\_\_\_\_$ $(-1,1)$ ．

（5 分）（2010•北京）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{b}=1, \mathrm{c}=\sqrt{3}, \angle \mathrm{C}=\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知 $a=$ $\_\_\_\_$ 0.03

－若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为 $\_\_\_\_$ 3。

（5分）（2010•北京）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 2 ，焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 $\_\_\_\_$ $(4,0),(-4,0)$ ；渐近线方程为 $\_\_\_\_$ $y= \pm \sqrt{3} x$ 。

（5分）（2010•北京）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动．设顶点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ）的轨迹方程是 $y=f(x)$ ，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ 4
； $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为 $\_\_\_\_$ $\pi+1$ ．

（14分）（2010•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 $\mathrm{A}(-1,1)$ 关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 $-\frac{1}{3}$ ．
（I）求动点 P 的轨迹方程；
（II）设直线 $A P$ 和 $B P$ 分别与直线 $x=3$ 交于点 $M, N$ ，问：是否存在点 $P$ 使得 $\triangle P A B$ 与 $\triangle P M N$的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．