2011 大纲卷 数学

（5分）复数 $z = 1 + \mathrm { i } , \overline { { \mathbf { \Omega } } }$ 为z 的共轭复数，则 $2 ^ { \bullet } z - z - 1 =$ （　　）

（5分）函数 $\cdot \forall = 2 \sqrt { \texttt { x } } ( \texttt x { \ge } 0 )$ 的反函数为（A $y = \frac { x } { 4 } ^ { 2 } ( x \in R )$ B $\scriptstyle \mathsf { y } = { \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } } ( \mathbf { x } \geq 0 )$ C $\forall \mathbf { = } 4 \mathbf { x } ^ { 2 } ( \mathbf { x } \in \mathsf { R } )$ D． $\forall \mathbf { = } 4 \mathbf { x } ^ { 2 } ( \mathbf { x } { \geq } 0 )$

（5分）下面四个条件中，使 $a > b$ 成立的充分而不必要的条件是（　　）A $a > { \mathsf { b } } + 1$ B $a > b - 1$ C $\mathtt { a } ^ { 2 } > \mathtt { b } ^ { 2 }$ D $\mathtt { a } ^ { 3 } > \mathtt { b } ^ { 3 }$

（5分）设 $S _ { \mathfrak { n } }$ 为等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和，若 $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$ ，公差d=2， $S _ { k + 2 } - S _ { k } = 2 4$ ，则 k=（　　）

（5分）设函数$f(x)=\cos\omega x$（$\omega>0$），将$y=f(x)$的图象向右平移$\dfrac{\pi}{3}$个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则$\omega$的最小值等于（　　）

（5分）已知直二面角 ${ \sf a } - { \sf I } - \beta$ ，点 $\mathsf { A } \in \alpha$ ，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为 垂足，若 $\mathsf { A B } = 2$ $A C = B D = 1$ ，则D到平面ABC的距离等于（　　） A $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ C $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$ D．1

（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（　　）

（5分）曲线 $\forall \mathsf { = e } ^ { \mathsf { - 2 x } + 1 }$ 在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（　　）A $\frac 1 3$ B $\frac 1 2$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D．1

（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当 $\scriptstyle 0 \leq x \leq 1$ 时， ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) = 2 { \textsf { x } } \left( { \textsf { 1 - x } } \right)$ ，则f $( - \frac { 5 } { 2 } ) =$ A $- \frac { 1 } { 2 }$ B $- \frac { 1 } { 4 }$ C $\frac { 1 } { 4 }$ D $\frac { 1 } { 2 }$

（5分）已知抛物线C： $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点为F，直线 $y = 2 x - 4$ 与C交于A，B两点，则 $\cos \angle A F B =$ （　　）A $\frac { 4 } { 5 }$ B $\frac { 3 } { 5 }$ C $\frac { 3 } { 5 }$ D $\frac { 4 } { 5 }$

（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成 $60 ^ { \circ }$ 二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（

）

（5分） $( 1 - \sqrt { \mathbf { x } } )$ 的二项展开式中，x的系数与x⁹的系数之差为　0

（5分）已知 $\mathsf { I a t } \ ( \frac { \pi } { 2 } , \ \pi )$ $\sin a = \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$ ，则 $\tan 2 \alpha = - \frac { 4 } { 3 } -$

（5分）已知F₁、F₂分别为双曲线C：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F₁AF₂的平分线，则｜AF₂｜=____．

（5分）已知E、F分别在正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 的棱 $\mathsf { B B } _ { 1 } , \mathsf { C C } _ { 1 } \bot$ ，且 $\mathtt { B } _ { 1 } E = 2 E$ B， $C F { = } 2 F C _ { 1 }$ ，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 $- \frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$

（10分） $\triangle A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知 $\vert A - C = \frac { \pi } { 2 } , a + c$ $= \sqrt { 2 } \mathsf { b }$ ，求C

（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望

（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，$AB=BC=2$，$CD=SD=1$

（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小

（12分）设数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $\mathtt { a } _ { 1 } = 0$ 且 $\frac { 1 } { 1 - \bar { \mathsf { a } } _ { \mathtt { n } + 1 } } - \frac { 1 } { 1 - \bar { \mathsf { a } } _ { \mathtt { n } } } = 1$

（Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b _ { n } = \frac { 1 - \sqrt { a _ { n + 1 } } } { \sqrt { n } }$ ，记 $s _ { n } = \sum \limits _ { k = 1 } ^ { n } b _ { k } ,$ ，证明： $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } } < 1$

（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： $\mathbf { x } ^ { 2 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 } = 1$ 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 $- \sqrt { 2 }$ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 $\overrightarrow { O _ { A } } + \overrightarrow { O _ { B } } + \overrightarrow { O _ { P } } = \overrightarrow { 0 }$

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上

（12分）（Ⅰ）设函数 $f ( \mathbf { x } ) = \ln \left( 1 + \mathbf { x } \right) \frac { 2 \mathbf { x } } { \mathbf { x } + 2 }$ ，证明：当x＞0时， $\textsf { f } \left( \mathbf { \boldsymbol { x } } \right) > 0$

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：

$$ \mathsf { p } { < } ( \frac { 9 } { 1 0 } ) ^ { 1 9 } { < } \frac { 1 } { \mathsf { e } ^ { 2 } } . $$