2011 地方卷 数学

设 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 是向量，命题 “若 $\vec{a} = -\vec{b}$，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$” 的逆命题是

设抛物线的顶点在原点，准线方程为 $x = - 2$ ，则抛物线的方程是 （ ）

设 $0 < a < b$ ，则下列不等式中正确的是 （ ）

函数 $y = x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 的图像是 （ ）

方程 $\left| x \right| = \cos x$ 在 $\big ( - \infty , + \infty \big )$ 内 （ ）(A)没有根 (B)有且仅有一个根(C) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根

如右框图，当 $x _ { 1 } = 6 , x _ { 2 } = 9 , p = 8 . 5$ 时， $x _ { 3 }$ 等于（ ）

设集合 $M = \{ y \mid y = \mid \cos ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } x \mid , x \in R \}$ $N = \{ x \| \frac { x } { i } | { < } 1$ ，i为虚数单位， $\boldsymbol { x } \in \boldsymbol { \mathsf { R } } \boldsymbol { \mu }$ ，则 $M \cap N$ 为（ ）

设 $( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , \cdot \cdot \cdot$

$( x _ { n } , y _ { n } )$ 是变量x和y 的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）

设 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \lg x , x > 0 } \\ { 1 0 ^ { x } , x , 0 } \end{array} \right. }$ ，则 $f ( f ( - 2 ) ) =$

观察下列等式

$1=1$
$2+3+4=9$
$3+4+5+6+7=25$
$4+5+6+7+8+9+10=49$

照此规律，第五个等式应为

设 $n \in N _ { + }$ ，一元二次方程 $x ^ { 2 } - 4 x + n = 0$ 有整数根的充要条件是 n =

17.（本小题满分12分）

设椭圆C: ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 { \bigl ( } a > b > 0 { \bigr ) }$ 过点（0，4），离心率为 $\frac { 3 } { 5 }$

（1）求C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为 $\frac { 4 } { 5 }$ 的直线被C所截线段的中点坐标

19.（本小题满分12分）

如图，从点 $P _ { 1 } ( 0 , 0 )$ 做x轴的垂线交曲线 $y = e ^ { x }$ 于点 $\mathcal { Q } _ { 1 } ( 0 , 1 )$ ,曲线在 $\mathcal { Q } _ { 1 }$ 点处的切线与x轴交于点 $P _ { 2 }$ ，再从 $P _ { 2 }$ 做x轴的垂线交曲线于点 $Q _ { 2 }$ ，依次重复上述过程得到一系列点：

$P _ { 1 } , Q _ { 1 } ; P _ { 2 } , Q _ { 2 } . . . . . . ; P _ { n } , \mathcal { Q } _ { n }$ , 记 $P _ { \ k }$ 点的坐标为 $( x _ { k } , 0 ) ( k = 1 , 2 , . . . , n )$

（Ⅰ）试求 $x _ { \imath }$ 与 $x _ { k - 1 }$ 的关系 $( 2 \leq k \leq n )$

（ Ⅱ）求 $\left| P _ { 1 } \boldsymbol { { \mathcal { Q } } } _ { 1 } \right| + \left| P _ { 2 } \boldsymbol { { \mathcal { Q } } } _ { 2 } \right| + \left| P _ { 3 } \boldsymbol { { \mathcal { Q } } } _ { 3 } \right| + \ldots + \left| P _ { n } \boldsymbol { { \mathcal { Q } } } _ { n } \right|$

（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径 $L _ { 1 }$ 和 $L _ { 2 }$ ，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>所用时间（分钟）</td><td rowspan=1 colspan=1>10~20</td><td rowspan=1 colspan=1>20~30</td><td rowspan=1 colspan=1>30~40</td><td rowspan=1 colspan=1>40~50</td><td rowspan=1 colspan=1>50~60</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>选择 $L _ { 1 }$ 的人数</td><td rowspan=1 colspan=1>6</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td><td rowspan=1 colspan=1>18</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>选择 $L _ { 2 }$ 的人数</td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td><td rowspan=1 colspan=1>16</td><td rowspan=1 colspan=1>16</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td></tr></table>

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

（2 ）分别求通过路径 $L _ { 1 }$ 和 $L _ { 2 }$ 所用时间落在上表中各时间段内的频率；

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站， L2为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径