2012 北京卷 数学

（5分）已知集合 $\mathsf { A } { = } \left\{ { \mathsf { x } } { \in } \mathsf { R } \mid 3 { \mathsf { x } } { + } 2 { \mathsf { > } } 0 \right\}$ $B = \{ x \in R \vert ( \ x + 1 ) ( \ x - 3 ) > 0 \}$ ，则 $\mathsf { A } \cap \mathsf { B } \ b =$ （　　）

（5分）在复平面内，复数 $\frac { 1 0 \mathrm { i } } { 3 + \mathrm { i } }$ 对应的点的坐标为（　　）

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

（5分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（　　） A $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { + a } _ { 3 } \geqslant 2 \mathtt { a } _ { 2 }$ B $\mathsf { a } _ { 1 } { } ^ { 2 + } \mathsf { a } _ { 3 } { } ^ { 2 } \geqslant { 2 \mathsf { a } _ { 2 } } ^ { 2 }$ C．若 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 3 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 2 }$ D．若 $\mathsf { a } _ { 3 } > \mathsf { a } _ { 1 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 4 } > \mathtt { a } _ { 2 }$

（5分）某棵果树前n 年的总产量 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）

（5 分）直线 $y=x$ 被圆 $x^2+ (y - 2)^2=4$ 截得的弦长为____.

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 a=3， $b = \sqrt { 3 } , \angle A = \frac { \pi } { 3 }$ ，则∠C 的大小为 $- { \frac { \pi } { 2 } } -$

（5 分）已知函数 $f(x)=\lg x$，若 $f(ab)=1$，则 $f(a^2)+f(b^2)=\underline{2}$．

（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow { D E } \cdot \overrightarrow { C B }$ 的值为　1

（14 分）如图 1，在 Rt△ABC 中， $\angle C = 9 0 ^ { \circ }$ ，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点F为线段CD上的一点，将 $\triangle \mathsf { A D E }$ 沿DE 折起到 $\triangle \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { E }$ 的位置，使 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F \bot C D }$ 如图 2

（1）求证：DE∥平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C B }$

（2）求证： $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \bot \mathsf { B } \mathsf { E }$

（3）线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 上是否存在点Q，使 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面DEQ？说明理由

图1

图2

（14分）已知椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个长轴顶点为A（2，0），

离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，直线 ${ \mathsf { y } } { = } { \mathsf { k } } \ \left( { \mathsf { x } } - 1 \right)$ 与椭圆C交于不同的两点M，N，

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）当 $\triangle \mathsf { A M N }$ 的面积为 $J { \frac { \sqrt { 1 0 } } { 3 } }$ 时，求k的值

（13分）设A是如下形式的2行3列的数表，

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>a</td><td rowspan=1 colspan=1>b</td><td rowspan=1 colspan=1>C</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>d</td><td rowspan=1 colspan=1>e</td><td rowspan=1 colspan=1>f</td></tr></table>

满足性质 P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且 $\mathsf { a } + \mathsf { b } + \mathsf { c } + \mathsf { d } + \mathsf { e } + \mathsf { f } = 0$

记 ${ \sf r } _ { \mathrm { i } } ( \mathsf { A } )$ 为 A 的第 i 行各数之和 $( \mathsf { i } = 1 , 2 ) , \mathsf { C } _ { \mathsf { i } } ( \mathsf { A } )$ 为 A 的第 j 列各数之和（j=1，2，3）；记 k（A）为 $\left| \textsf { r } _ { 1 } \left( \textsf { A } \right) \ \right| , \quad \left| \textsf { r } _ { 2 } \left( \textsf { A } \right) \ \right| , \quad \left| \textsf { c } _ { 1 } \left( \textsf { A } \right) \ \right| , \quad \left| \mathsf { c } _ { 2 } \left( \textsf { A } \right) \ \right|$ $| \mathsf { c } _ { 3 } \mathsf { \Omega } ( \mathsf { A } )$ |中的最小值

（1）对如下数表A，求k（A）的值

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>- 0.8</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>0.1</td><td rowspan=1 colspan=1>- 0.3</td><td rowspan=1 colspan=1>-1</td></tr></table>

②设数表 A 形如

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>- 1 - 2d</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>d</td><td rowspan=1 colspan=1>d</td><td rowspan=1 colspan=1>-1</td></tr></table>

其中﹣1≤d≤0．求 k（A）的最大值；

（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值