2012 北京卷 数学

（5分）已知集合 $\mathsf { A } { = } \left\{ { \mathsf { x } } { \in } \mathsf { R } \mid 3 { \mathsf { x } } { + } 2 { \mathsf { > } } 0 \right\}$ $B = \{ x \in { \mathsf { R } } | \left( { \mathsf { x } } { + } 1 \right) \left( { \mathsf { x } } - 3 \right) > 0 \}$ ，则 $\mathsf { A } \cap \mathsf { B } \ b =$ （　　）

（5分）设不等式组 $\{ 0 \leqslant x \leqslant 2$ ，表示的平面区域为D，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）A $\frac { \pi } { 4 }$ B． $\frac { \pi - 2 } { 2 }$ C $\frac { \pi } { 6 }$ D $\frac { 4 - \pi } { 4 }$

设 $a$，$b\in\mathbb{R}$．“$a=0$”是“复数 $a+bi$ 是纯虚数”的（　　）

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

（5 分）如图， $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ $C D \bot A B$ 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点E．则（　　）

A $\mathsf { C E ^ { \bullet } C B = A D \bullet D B }$ B $\mathsf { C E ^ { \bullet } C B = A D \bullet A B }$ C $A D \bullet A B = C D ^ { 2 }$ D ${ \mathsf { C E } } ^ { \bullet } { \mathsf { E B } } { = } { \mathsf { C D } } ^ { 2 }$

（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　）

（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）

俯视图

正(主)视图

侧(左)视图

A $2 8 + 6 \sqrt { 5 }$ B $3 0 + 6 \sqrt { 5 }$ C $5 6 \div 1 2 \sqrt { 5 }$ D $6 0 \substack { + 1 2 \sqrt { 5 } }$

（5分）某棵果树前n 年的总产量 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）↑Sn
o1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 42

（5 分）直线 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 2 + t } \\ { \mathbf { y } = - 1 - t } \end{array} \right. }$ （t 为参数）与曲线 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 3 \mathsf { c o s } ^ { \mathbb { G } } } \\ { \mathbf { y } = 3 \mathsf { s i n } ^ { \mathbb { G } } } \end{array} \right.$ （α 为参数）的交点个数为　2

（5 分）已知 $\{ \textsf { a } _ { \mathfrak { n } } \}$ 是等差数列， $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 为其前 n 项和．若 $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { = } \frac { 1 } { 2 } , ~ \mathsf { s } _ { 2 } \mathsf { = } \mathsf { a } _ { 3 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 2 } =$
1

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 a=2，b+c=7， $\cos \ B = - \frac { 1 } { 4 }$ ，则 $b = 4$

（5 分）在直角坐标系 xOy 中．直线 l 过抛物线 $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点 F．且与该抛物线相交于 A、B 两点．其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 $60 ^ { \circ }$ ．则 $\bigtriangleup$ OAF的面积为 $\sqrt { 3 }$

（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow { D E } \cdot \overrightarrow { C B }$ 的值为　1

（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

<table><tr><td colspan="1" rowspan="1"></td><td colspan="1" rowspan="1">“厨余垃圾”箱</td><td colspan="1" rowspan="1">“可回收物”箱</td><td colspan="1" rowspan="1">“其他垃圾”箱</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">厨余垃圾</td><td colspan="1" rowspan="1">400</td><td colspan="1" rowspan="1">100</td><td colspan="1" rowspan="1">100</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">可回收物</td><td colspan="1" rowspan="1">30</td><td colspan="1" rowspan="1">240</td><td colspan="1" rowspan="1">30</td></tr><tr><td>其他垃圾</td><td>20</td><td>20</td><td>60</td></tr></table>

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中 $\mathsf { a } > 0 , \mathsf { a } + \mathsf { b } + \mathsf { c } = 6 0 0$ ．当数据a，b，c的方差 $\mathsf { S } ^ { 2 }$ 最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时 $\mathsf { S } ^ { 2 }$ 的值

（求： $S ^ { 2 } = \frac { 1 } { n } [ ( x _ { 1 } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } + \ldots + ( x _ { n } - \overline { { x } } )$ ]，其中 $\overline { { \mathbf { x } } }$ 为数据 $\times _ { 1 } , ~ \times _ { 2 } , ~ \ldots ,$ ${ \sf X } _ { \sf \Pi }$ 的平均数）