2013 大纲卷 数学

（5分）设集合 $\cdot { \sf A } = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$ $B = \{ 4 , \ 5 \}$ $M = \{ x \vert x = a + b$ ，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

（5分） $( 1 + \sqrt { 3 } \mathrm { i } ) ^ { 3 } \ d =$ （　　）

（5分）已知向量 $\stackrel { } { \pi } = \ ( \lambda ^ { + } 1 , \ 1 )$ $\vec { \bf \Phi } _ { \mathrm { { r } } } = { \bf \Phi } ( \lambda { + } 2 , { \bf \Lambda } 2 )$ ，若 $( \vec { \pi } ^ { + } \vec { \eta } ) \perp ( \vec { \pi } - \vec { \eta } )$ 则λ=（　　）

（5分）函数f $( \mathbf { x } ) = 1 0 { \bf g } _ { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { \mathbf { x } } ) ( \mathbf { x } > 0 )$ 的反函数f﹣¹（x）=（　　）A $\frac { 1 } { 2 ^ { ^ { \mathbf { x } } } - 1 } ( \mathbf { x } > 0 )$ B $\frac { 1 } { 2 ^ { \mathbf { x } } - 1 } ( \mathbf { x } \neq 0 )$ C $2 ^ { \mathsf { x } } - 1 ( { \mathsf { x } } \in { \mathsf { R } } )$ D $2 ^ { \mathsf { x } } - 1 ( \mathsf { x } { > } 0 )$

（5分）已知数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $3 \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } + \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } = 0$ $a _ { 2 } = - \frac { 4 } { 3 }$ ，则 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前10项和等于（）A $\textbf { - 6 } ( 1 - 3 ^ { - 1 0 } )$ B ${ \frac { 1 } { 9 } } ( 1 - 3 ^ { - 1 0 } )$ C．3 $( 1 - 3 ^ { - 1 0 } )$ D $3 ( 1 + 3 ^ { - 1 0 } )$

（5分）（1+x）³（1+y）⁴的展开式中 $\mathsf { x } ^ { 2 } \mathsf { y } ^ { 2 }$ 的系数是（　　）

（5分）椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$ 的左、右顶点分别为 $\mathsf { A } _ { 1 } , ~ \mathsf { A } _ { 2 }$ ，点P在C上且直线 $\mathsf { P A } _ { 2 }$ 斜率的取值范围是 $\left[ { \begin{array} { l l } { - 2 , } & { - \ 1 } \end{array} } \right]$ ，那么直线 $\mathsf { P A } _ { 1 }$ 斜率的取值范围是（　　） A $[ \frac { 1 } { 2 } , \ \frac { 3 } { 4 } ]$ B $[ \frac { 3 } { 8 } , \frac { 3 } { 4 } ]$ C． $[ \frac { 1 } { 2 }$ , 1] D． $[ \frac { 3 } { 4 }$ , 1]

（5分）若函数f $( \mathbf { x } ) \mathbf { \lambda } = \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { a x } + \frac { 1 } { \mathbf { \lambda } _ { \mathbf { x } } }$ 在 $( \frac 1 2$ 是增函数，则a的取值范围是（）A $[ \mathbf { \nabla } - \mathbf { 1 } , \mathbf { \nabla } 0 ]$ B $[ \mathbf { \Gamma } - \mathbf { \Gamma } _ { 1 } , \mathbf { \Gamma } + \infty )$ C．[0，3] D $[ 3 , \ + \infty )$

（5分）已知抛物线C： $y ^ { 2 } = 8 x$ 的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 $\overrightarrow { M A } \cdot \overrightarrow { M B } = 0$ ，则k=（　　）A $\sqrt { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ C $\frac 1 2$ D．2

（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称

B $\scriptstyle \mathbf { y } = \mathbf { f } \left( \mathbf { x } \right)$ 的图象关于 $x = \frac { \pi } { 2 }$ 对称C. f(x)的最大值为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ D．f（x）既是奇函数，又是周期函数

（5分）已知$\alpha$是第三象限角，$\sin\alpha=-\dfrac{1}{3}$，则$\cot\alpha=$______．

（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　480

种．（用数字作答）

（10分）等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ．已知 $\mathsf { S } _ { 3 } \mathsf { = } \mathsf { a } _ { 2 } { } ^ { 2 }$ ，且 $\mathsf { S } _ { 1 }$ ， $\mathsf { S } _ { 2 }$ ， $\mathsf { S } _ { 4 }$ 成等比数列，求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项式

（12分）如图，四棱锥 $\mathsf { P } - \mathsf { A B C D }$ 中， $\angle A B C = \angle B A D = 9 0 ^ { \circ }$ ，BC=2AD， $\triangle \mathsf { P A B }$ 与

△PAD都是等边三角形

（Ⅰ）证明：PB⊥CD；

（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小

（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判

（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望