2013 浙江卷 数学

（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（　　）

(5分)(2013•浙江)设集合$S=\{x|x>-2\}$，$T=\{x|x^2+3x-4\leq0\}$，则$(\complement_{\mathbb{R}}S)\cup T=$（　　）

(5分)(2013•浙江)已知函数$f(x)=A\cos(\omega x+\phi)$($A>0$，$\omega>0$，$\phi\in\mathbb{R}$)，则“$f(x)$是奇函数”是“$\phi=\dfrac{\pi}{2}$”的（　　）

（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ${ \frac { 9 } { 5 } } ,$ ，则（　　）

A $\mathrm { \tt a } { = } 4$ B．a=5 C．a=6 D $\mathbf { a } { = } 7$

已知 $\alpha \in \mathbb{R}$，$\sin\alpha + 2\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$，则 $\tan 2\alpha =$（　　）

（5分）（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数 ${ \textbf { f } } ( \mathbf { x } ) = ( \mathbf { e ^ { x } } - 1 ) ( \mathbf { x } - 1 ) ^ { \textbf { k } } ( \mathbf { k } { = } 1 , \ 2 )$ ），则（　　）

（5分）（2013•浙江）如图 $\mathrm { F } _ { 1 } , \ \mathrm { F } _ { 2 }$ 是椭圆 $\mathbf { C } _ { 1 } \colon \ \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } \substack { + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1 }$ 与双曲线C2的公共焦点 A、B分别是 $\mathrm { C } _ { 1 } , \mathrm { C } _ { 2 }$ 在第二、四象限的公共点，若四边形 $\mathrm { A F } _ { 1 } \mathrm { B F } _ { 2 }$ 为矩形，则 $\mathrm { C } _ { 2 }$ 的离心率是（　　）

A $\sqrt { 2 }$ B $\sqrt { 3 }$ C $\frac { 3 } { 2 }$ D $\frac { \sqrt { 6 } } { 2 }$

（5 分）（2013•浙江）在空间中，过点 A 作平面 $\pi$ 的垂线，垂足为 B，记 $B=f_\pi(A)$。设 $\alpha$，$\beta$ 是两个不同的平面，对空间任意一点 P，$Q_1=f_\alpha[f_\beta(P)]$，$Q_2=f_\beta[f_\alpha(P)]$，恒有 $PQ_1=PQ_2$，则（　　）

（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于 $2 4 { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ ~ } ~ } } { \mathrm { c m } } ^ { 3 }$

（4分）（2013•浙江）设 $\scriptstyle { \mathbf { Z } } ^ { = } \mathbf { k } \mathbf { X } ^ { + } \mathbf { y }$ ，其中实数 x，y 满足 $\left\{ { \begin{array} { l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } - 2 \mathbf { \geqslant } 0 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 4 \mathbf { \geqslant } 0 } \\ { 2 \mathbf { x } - \mathbf { y } - 4 \mathbf { \leqslant } 0 } \end{array} } \right.$ ，若 z的最大值为12，则实数k= 2

（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有　480种（用数字作答）

（4 分）（2013•浙江） $\triangle \mathrm { A B C }$ 中， $\angle C { = } 9 0 ^ { \circ }$ ，M是BC的中点，若 $\sin \angle B A M = \frac { 1 } { 3 } ,$ 则 $\sin \angle B A C = - \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } -$

（14分）（2013•浙江）在公差为$d$的等差数列$\{a_n\}$中，已知$a_1=10$，且$a_1$，$2a_2+2$，$5a_3$成等比数列．
（Ⅰ）求$d$，$a_n$；
（Ⅱ）若$d<0$，求$|a_1|+|a_2|+|a_3|+\cdots+|a_n|$．

（14分）（2013•浙江）设袋子中装有$a$个红球，$b$个黄球，$c$个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．
（1）当$a=3$，$b=2$，$c=1$时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量$\xi$为取出此2球所得分数之和，求$\xi$分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量$\eta$为取出此球所得分数．若$\mathrm{E}\eta=\dfrac{5}{3}$，$\mathrm{D}\eta=\dfrac{5}{9}$，求$a:b:c$．

（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD 中，AD⊥平面BCD， $B C \bot C D$ ,AD=2, $\mathtt { B D = 2 } \sqrt { 2 } .$ ．M 是 AD的中点，P是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ=3QC

（1）证明：PQ∥平面 BCD；

（2）若二面角C﹣BM﹣D 的大小为60°，求∠BDC的大小

Topic: 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定

专题： 计算题；空间位置关系与距离；空间角

分析： （1）取BD的中点O，在线段CD 上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF 是平行四边形，从而 PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出 PQ∥平面 BCD；

> （2）过点C 作CG⊥BD，垂足为G，过G 作GH⊥BM于 H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D 的平面角，可得 $\angle C \mathrm { H G } { = } 6 0 ^ { \circ }$ ．设 $\angle \mathrm { B D C = } \Theta$ ，用解直角三角形的方法算出 HG 和 CG 关于 θ 的表达式，最后在 Rt△CHG 中，根据正切的定义得出 $\tan \angle C \mathrm { H G } = \frac { C G } { G \mathrm { H } } = \sqrt { 3 } ,$ ，从而得到 $\tan \theta = { \sqrt { 3 } } ,$ ，由此可得∠BDC

（14分）（2013•浙江）已知 $a\in\mathbb{R}$，函数 $f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3$．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
（2）当 $x\in[0,2]$ 时，求 $|f(x)|$ 的最大值．