2015 天津卷 数学

已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，集合 $A=\{2,3,5,6\}$，集合 $B=\{1,3,4,6,7\}$，则集合 $A\cap \complement_U B=$（ ）

设变量x y, 满足约束条件 $\left\{ { \begin{array} { l } { x + 2 \geq 0 . } \\ { x - y + 3 \geq 0 . } \\ { 2 x + y - 3 \leq 0 } \end{array} } \right.$ 则目标函数 $z = x + 6 y$ 的最大值为（ ）

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）

如图，在圆O中， M，N是弦 AB 的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM = 2， $M D = 4$ $C N = 3$ ，则线段NE的长为（ ）A $\frac { 8 } { 3 }$ B．3 C $\frac { 1 0 } { 3 }$ D． $\frac { 5 } { 2 }$

已知双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > 0 , \ b > 0 \ )$ ）的一条渐近线过点（ $\sqrt { 3 } )$ ），且双曲线的一个焦点在抛物线$y ^ { 2 } = 4 \sqrt { 7 } x$ 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A $\frac { x ^ { 2 } } { 2 1 } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 8 } = 1$ B $\frac { x ^ { 2 } } { 2 8 } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 1 } = 1$ C $\frac { x ^ { 2 } } { 3 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ D ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } - { \frac { y ^ { 2 } } { 3 } } = 1$

已知定义在R上的函数 $f ( x ) = 2 ^ { \left| x - m \right| } - 1 ~ ( ~ m$ 为实数）为偶函数，记 $a = f ( \log _ { 0 . 5 } 3 )$ $b = f ( \log _ { 2 } 5 )$ $c = f ( 2 m )$ ，则a，b c， 的大小关系为（ ）A $\mathsf { a } { < } \mathsf { b } { < } \mathsf { c }$ B $\mathsf { a } { < } \mathsf { c } { < } \mathsf { b }$ C $\mathtt { c } { < } \mathtt { a } { < } \mathtt { b }$ D $\mathtt { c } { < } { \mathtt { b } } { < } { \mathtt { a } }$

i是虚数单位，若复数 $( 1 - 2 i ) ( a + i )$ 是纯虚数，则实数a的 值为

一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 $\mathbf { m } ^ { 3 }$

正视图

在等腰梯形ABCD中，已知 $A B / / D C , A B = 2 , B C = 1 , \angle A B C = 6 0 ^ { \circ }$ 。动点E和F 分别在线段BC和DC 上，且 $\overrightarrow { B E } = \lambda \overrightarrow { B C } , \overrightarrow { D F } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C }$ ，则 ${ \overrightarrow { A E } } { \cdot } { \overrightarrow { A F } }$ 的最小值为

已知函数 $f ( \mathbf { x } ) = \sin ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } ( x - \frac { \pi } { 6 } )$ ， x RÎ

（Ⅰ）求f x( )的最小正周期；

（Ⅱ）求 f x( ) 在区间 $\left[ - { \frac { \pi } { 3 } } , { \frac { \pi } { 4 } } \right]$ 内的最大值和最小值

已知椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > \mathrm { b } > 0 )$ 的左焦点为 $F ( - c , 0 )$ ，离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } } { 4 }$ 截得的线段的长为c， $\mid F M \mid = \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 }$

（Ⅰ）求直线FM的斜率；

（Ⅱ）求椭圆的方程；

（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 $\sqrt { 2 }$ ，求直线 $O P \ C O$ 为原点）的斜率的取值范围。