2016 地方卷 · 文 数学

设 $i$ 为虚数单位，则复数 $(1+i)^{2}=$

设集合 $A=\{x \mid 1 \leq x \leq 5\}, ~ Z$ 为整数集，则集合 $\mathrm{A} \cap \mathrm{Z}$ 中元素的个数是

抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点坐标是

为了得到函数 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需把函数 $\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}$ 的图象上所有的点

设 p ：实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $x>1$ 且 $y>1, \mathrm{q}$ ：实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $x+y>2$ ，则 p 是 q 的

已知 $a$ 函数 $f(x)=x^{3}-12 x$ 的极小值点，则 $a=$

某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 13.0 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12 \%$ ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： $1 \mathrm{~g} 1.12=0.05,1 \mathrm{~g} 1.3=0.11,1 \mathrm{~g} 2=0.30$ ）

秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 $\mathrm{n}, \mathrm{x}$ 的值分别为 3,2 ，则输出 v 的值为

已知正三角形 ABC 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，平面 ABC 内的动点 $\mathrm{P}, \mathrm{M}$ 满足 $|\stackrel{\text { uu }}{A P}=1|, \stackrel{\text { uur }}{P M}=\stackrel{\text { uu }}{M C}$ ，则 $|\stackrel{\text { ur }}{B M}|^{2}$ 的最大值是

设直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别是函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\ln x, 0<x<1, \\ \ln x, x>1,\end{array}\right.$ 图象上点 $P_{1}, P_{2}$ 处的切线，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直相交于点 $P$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A, B$ ，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

$\sin 750^{\circ}=$

已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积

俯视图

侧视图

从 2、 3、 $8 , 9$ 任取两个不同的数值，分别记为 $a , b$ ，则 $\log _{a} b$ 为整数的概率 $=$ $\_\_\_\_$ ．

已知函数 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 $0<x<1$ 时，$f(x)=4^{x}$ ，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)+f(1)=$

在平面直角坐标系中，当 $P(x, y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为 $P^{\prime}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)$ ；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为它自身，现有下列命题：
①若点 A 的＂伴随点＂是点 $\mathrm{A}^{\prime}$ ，则点 $\mathrm{A}^{\prime}$ 的＂伴随点＂是点 A ．
②单元圆上的＂伴随点＂还在单位圆上．
③若两点关于 x 轴对称，则他们的＂伴随点＂关于 y 轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的＂伴随点＂一定共线．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$ ．

（12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5), ~[0.5,1), ~ \cdots \cdots$ ［4，4．5］分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（I）求直方图中的 $a$ 值；
（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数．说明理由；
（III）估计居民月均用水量的中位数．

（本题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ ．
（I）证明： $\sin A \sin B=\sin C$ ；
（II）若 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=\frac{6}{5} b c$ ，求 $\tan B$ ．

（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $q>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $a_{2}, a_{3}, a_{2}+a_{3}$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=2$ ，求 $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+\cdots+e_{n}^{2}$ ．

（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x, g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^{x}}$ ，其中 $q \in R, \mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）证明：当 $\mathrm{x}>1$ 时， $\mathrm{g}(\mathrm{x})>0$ ；
（III）确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立．