2011 江苏卷 数学

（本小题满分14分）

在 $\Delta A B C$ 中，角A B C, , 的对边分别为 $^ { a , b , c }$

（1）若 $\sin ( A + { \frac { \pi } { 6 } } ) = 2 \cos A$ ，求A的值；

（2）若 $\cos A = { \frac { 1 } { 3 } } , b = 3 c$ ，求sinC的值

（本小题满分14分）

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D \perp$ 平面$A B C D$ $A B = A D$ $\angle B A D = 6 0 ^ { \circ }$ ， E F, 分别是

AP AD, 的中点

求证：（1）直线 $E F / /$ 平面PCD；

（2）平面BEF ^平面PAD

17．（本小题满分14分）

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 $A E = F B = x ( \mathrm { c m } )$

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积 $V ~ ( \mathrm { c m } ^ { 3 } )$ 最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，M N, 分别是椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } = 1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P , A$ 两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k

①当直线PA平分线段MN，求k的值；

②当k = 2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意 $k > 0$ ，求证： $P A \perp P B$

23．（本小题满分10分）

设整数 $n \geq 4$ ，P a b( , )是平面直角坐标系xOy中的点，其中 $a , b \in \left\{ 1 , 2 , 3 , \dotsc , n \right\}$ $a > b$

（1）记 $A _ { n }$ 为满足 $a - b = 3$ 的点P的个数，求 $A _ { n }$ ；

（2）记 $B _ { n }$ 为满足 ${ \frac { 1 } { 3 } } ( a - b )$ 是整数的点P的个数，求 $B _ { n }$