2011 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）（2011•湖南）若 $a, b \in R$ ，$i$ 为虚数单位，且（ $a+i$ ）$i=b+i$ 则（ ） A $a=1, b=1$ B $a=-1, b=1$ C $\mathrm{a}=-1, \mathrm{~b}=-1 \mathrm{D} \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-1$

2．（5分）（2011•湖南）设集合 $M=\{1,2\}, N=\left\{a^{2}\right\}$ ，则＂$a=1$＂是＂$N \subseteq M$＂的（ ） A 充分不必要条 B 必要不充分条 - 件 - 件 C 充分必要条件 D 既不充分又不 － －必要条件

3．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）  A $9 \pi+42$ B $36 \pi+18$ C $\frac{9}{2} \pi+12$ D $\frac{9}{2} \pi+18$

4．（5分）（2011•湖南）通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： | | 男 | 女 | 总计 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 爱好 | 40 | 20 | 60 | | 不爱好 | 20 | 30 | 50 | | 总计 | 60 | 50 | 110 | 由 $k^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 算得， $k^{2}=\frac{110 \times(40 \times 30-20 \times 20)^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8$. | $\mathrm{P}\left(\mathrm{K}^{2} \geq \mathrm{k}\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | k | 3.841 | 6.635 | 10.828 | 参照附表，得到的正确结论是 A 在犯错误的概 －率不超过 $0.1 \%$ 的前提下，认 为＂爱好该项运 动与性别有关＂ B 在犯错误的概 －率不超过 $0.1 \%$ 的前提下，认 为＂爱好该项运 动与性别无关＂ C 有 $99 \%$ 以上的把 －握认为＂爱好该 项运动与性别 有关＂ D 有 $99 \%$ 以上的把 －握认为＂爱好该 项运动与性别 无关＂

5．（5分）（2011•湖南）设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1 \quad(a>0)$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y=0$ ，则 $a$ 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1

6．（5 分）（2011•湖南）由直线 $\mathrm{x}=-\frac{\pi}{3}, \mathrm{x}=\frac{\pi}{3}, \mathrm{y}=0$ 与曲线 $\mathrm{y}=\cos \mathrm{x}$ 所围成的封闭图形的面积为（ ） A $\frac{1}{2}$ B 1 C $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D $\sqrt{3}$

7．（5分）（2011•湖南）设 $m>1$ ，在约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \geqslant x \\ y \leqslant m x \\ x+y \leqslant 1\end{array}\right.$ 下，目标函数 $Z=X+m y$ 的最大值小于 2 ，则 m 的取值范围为（ ） A $(1,1+\sqrt{2})$ B $(1+\sqrt{2},+\infty$ C $(1,3)$ D $(3,+\infty)$ ．

8．（5分）（2011•湖南）设直线 $\mathrm{x}=\mathrm{t}$ 与函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图象分别交于点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，则当 $|\mathrm{MN}|$ 达到最小时 t 的值为（ ） A 1 B $\frac{1}{2}$ C $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D $\frac{\sqrt{2}}{2}$

9．（5 分）（2011•湖南）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程为 $\mathrm{p}(\cos \theta-\sin \theta)+1=0$ ，则 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的交点个数为 $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$。

10．（5 分）（2011•湖南）设 $x, y \in R$ ，且 $x y \neq 0$ ，则 $\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right)\left(\frac{1}{x^{2}}+4 y^{2}\right)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

11．（2011•湖南）如图， $\mathrm{A}, \mathrm{E}$ 是半圆周上的两个三等分点，直径 $\mathrm{BC}=4, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ ，垂足为 D ， BE 与 AD 相交与点 F ，则 AF 的长为 $\_\_\_\_$ ． 

12．（5分）（2011•湖南）设 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 是等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 的前 n 项和，且 $\mathrm{a}_{1}=1, \mathrm{a}_{4}=7$ ，则 $\mathrm{S}_{9} =$ $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入 $\mathrm{x}_{1}=1, \mathrm{x}_{2}=2, \mathrm{x}_{3}=3, \overline{\mathrm{x}}=2$ ，则输出的数等于 $\_\_\_\_$。 

14．（5分）（2011•湖南）在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件＂豆子落在正方形 EFGH 内＂， B 表示事件＂豆子落在扇形 OHE （阴影部分）内＂，则 ① $\mathrm{P}(\mathrm{A})=$ $\_\_\_\_$ ； ② $\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{A})=$ $\_\_\_\_$。 

16．（ 5 分）（ $2011 \cdot$ 湖南）对于 $n \in N^{+}$，将 $n$ 表示 $n=a_{0} \times 2^{k}+a_{1} \times 2^{k-1}+a_{2} \times 2^{k-2}+\ldots+a_{k-1} \times 2^{1}+a_{k} \times 2^{0}$ ，当 $i=0$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $1 \leq i \leq k$ 时，$a_{1}$ 为 0 或 1 ．记 $I ~(n)$ 为上述表示中 $\mathrm{a}_{\mathrm{i}}$ 为 0 的个数（例如： $1=1 \times 2^{0}, 4=1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+0 \times 2^{0}$ ，故 $I ~(1)=0$ ，I（4 $)=2$ ），则 ①$I(12)=$ $\_\_\_\_$ ；②$\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=$ $\_\_\_\_$ ．

17．（12分）（2011•湖南）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $c \sin \mathrm{A}=\mathrm{a} \cos \mathrm{C}$ ． （1）求角 C 的大小； （2）求 $\sqrt{3} \sin \mathrm{~A}-\cos \left(\mathrm{B}+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值，并求取得最大值时角 A 、 B 的大小．

18．（12分）（2011•湖南）某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： | 日销售量（件） | 0 | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 频数 | 1 | 5 | 9 | 5 | 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。 （I）求当天商品不进货的概率； （II）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。

19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥 PO 中，已知 $\mathrm{PO}=\sqrt{2}, \odot \mathrm{O}$ 的直径 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{C}$ 是 $\widehat{\mathrm{AB}}$的中点， D 为 AC 的中点． （I）证明：平面 $\mathrm{POD} \perp$ 平面 PAC ； （II）求二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{PA}-\mathrm{C}$ 的余弦值。 

20．（13分）（2011•湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面 P （面积为 S ）的垂直方向作匀速移动，速度为 $\mathrm{v} ~(\mathrm{v}>0) ~$ ，雨速沿 E 移动方向的分速度为 $\mathrm{c} ~(\mathrm{c} \in \mathrm{R}) ~ . ~ \mathrm{E}$ 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：① P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 V － $\mathrm{c} \times \mathrm{S}$ 成正比，比例系数为 $\frac{1}{10}$ ；②其它面的淋雨量之和，其值为 $\frac{1}{2}$ ，记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 $\mathrm{d}=100$ ，面积 $\mathrm{S}=\frac{3}{2}$ 时． （I）写出 y 的表达式 （II）设 $0<\mathrm{v} \leq 10, ~ 0<\mathrm{c} \leq 5$ ，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v ，使总淋雨量 y 最少 

22．（13分）（2011•湖南）已知函数 $f(x)=x^{3}, g(x)=x+\sqrt{x}$ ． （I）求函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的零点个数．并说明理由； （II）设数列 \｛ $\left.a_{n}\right\} \quad\left(n \in N^{*}\right)$ 满足 $a_{1}=a \quad(a>0), f\left(a_{n+1}\right)=g\left(a_{n}\right)$ ，证明：存在常数 $M$ ，使得对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} \leq M$ ． 一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。