2011 地方卷 · 理 数学

（5分）（2011•湖南）设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1 \quad(a>0)$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y=0$ ，则 $a$ 的值为（ ）

（5 分）（2011•湖南）由直线 $\mathrm{x}=-\frac{\pi}{3}, \mathrm{x}=\frac{\pi}{3}, \mathrm{y}=0$ 与曲线 $\mathrm{y}=\cos \mathrm{x}$ 所围成的封闭图形的面积为（ ）

（5分）（2011•湖南）设 $m>1$ ，在约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \geqslant x \\ y \leqslant m x \\ x+y \leqslant 1\end{array}\right.$ 下，目标函数 $Z=X+m y$ 的最大值小于 2 ，则 m 的取值范围为（ ）

（5分）（2011•湖南）设直线 $\mathrm{x}=\mathrm{t}$
与函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图象分别交于点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，则当 $|\mathrm{MN}|$ 达到最小时 t 的值为（ ）

（5 分）（2011•湖南）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程为 $\mathrm{p}(\cos \theta-\sin \theta)+1=0$ ，则 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的交点个数为 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$。

（5 分）（2011•湖南）设 $x, y \in R$ ，且 $x y \neq 0$ ，则 $\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right)\left(\frac{1}{x^{2}}+4 y^{2}\right)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

（2011•湖南）如图， $\mathrm{A}, \mathrm{E}$ 是半圆周上的两个三等分点，直径 $\mathrm{BC}=4, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ ，垂足为 D ， BE 与 AD 相交与点 F ，则 AF 的长为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入 $\mathrm{x}_{1}=1, \mathrm{x}_{2}=2, \mathrm{x}_{3}=3, \overline{\mathrm{x}}=2$ ，则输出的数等于 $\_\_\_\_$。

（5分）（2011•湖南）在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 则
$\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=$ $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O
为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件＂豆子落在正方形 EFGH 内＂， B 表示事件＂豆子落在扇形 OHE （阴影部分）内＂，则
① $\mathrm{P}(\mathrm{A})=$ $\_\_\_\_$ ；
② $\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{A})=$ $\_\_\_\_$。

（ 5 分）（ $2011 \cdot$ 湖南）对于 $n \in N^{+}$，将 $n$
表示 $n=a_{0} \times 2^{k}+a_{1} \times 2^{k-1}+a_{2} \times 2^{k-2}+\ldots+a_{k-1} \times 2^{1}+a_{k} \times 2^{0}$ ，当 $i=0$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $1 \leq i \leq k$ 时，$a_{1}$ 为 0 或 1 ．记 $I ~(n)$ 为上述表示中 $\mathrm{a}_{\mathrm{i}}$ 为 0 的个数（例如： $1=1 \times 2^{0}, 4=1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+0 \times 2^{0}$ ，故 $I ~(1)=0$ ，I（4 $)=2$ ），则
①$I(12)=$ $\_\_\_\_$ ；②$\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=$ $\_\_\_\_$ ．