2011 地方卷 数学

（5分）（2011•辽宁）a为正实数，i为虚数单位， $\begin{array} { r } { \big \vert \frac { \bar { \mathbf { a } } + \mathbf { i } } { \mathbf { i } } \left. = 2 \right. } \end{array}$ ，则a=（　　）

（5分）（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（　　）

（5分）（2011•辽宁）设 $\sin ( \frac { \pi } { 4 } + \theta ) = \frac { 1 } { 3 } ,$ 则sin2θ=（　　） A $- \frac { 7 } { 9 }$ B． $- \frac { 1 } { 9 }$ C． $\frac { 1 } { 9 }$ D $\frac { 7 } { 9 }$

（5分）（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点， ${ \mathrm { A B } } { = } { \sqrt { 3 } } , ~ \angle { \mathrm { A S C } }$
$= \angle B { \mathrm { S C } } { = } 3 0 ^ { \circ }$ ，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）
A $3 { \sqrt { 3 } } \textrm { B . } 2 { \sqrt { 3 } } \textrm { C . } \sqrt { 3 }$ D．1

（5分）（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y
（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到yA
对x的回归直线方程 $\mathbf { y } { = } 0 . 2 5 4 \mathbf { x } { + } 0 . 3 2 1$ ．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，
年饮食支出平均增加　0.254　万元

（5分）（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 $\underline { { 2 } } \sqrt { 3 } \underline { { \ } }$

俯视图

（12分）（2011•辽宁）已知等差数列 $\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \}$ }满足 $\mathrm { a _ { 2 } = 0 , ~ \ a _ { 6 } + a _ { 8 } = - \ 1 0 }$

（Ⅰ）求数列 $\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 $\{ \frac { \bar { \bf { a } } _ { \mathrm { { n } } } } { 2 ^ { { \mathrm { n } } - 1 } } \}$ 的前n项和

（12分）（2011•辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙

（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>品种甲</td><td rowspan=1 colspan=1>403</td><td rowspan=1 colspan=1>397</td><td rowspan=1 colspan=1>390</td><td rowspan=1 colspan=1>404</td><td rowspan=1 colspan=1>388</td><td rowspan=1 colspan=1>400</td><td rowspan=1 colspan=1>412</td><td rowspan=1 colspan=1>406</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>品种乙</td><td rowspan=1 colspan=1>419</td><td rowspan=1 colspan=1>403</td><td rowspan=1 colspan=1>412</td><td rowspan=1 colspan=1>418</td><td rowspan=1 colspan=1>408</td><td rowspan=1 colspan=1>423</td><td rowspan=1 colspan=1>400</td><td rowspan=1 colspan=1>413</td></tr></table>

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据 $\mathrm { x _ { 1 } , \mathrm { x _ { 2 } , \cdots , \mathrm { x _ { a } } } }$ 的样本方差 $s ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 } [ ( \mathrm { ~ x _ { 1 } ~ - ~ } \overline { { \mathrm { ~ x ~ } } } ) ^ { 2 } + ( \mathrm { ~ x _ { 1 } ~ - ~ } \overline { { \mathrm { ~ x ~ } } } ) ^ { 2 } + \cdots + ( \mathrm { ~ x _ { n } ~ - ~ } \overline { { \mathrm { ~ x ~ } } } ) ^ { 2 }$ 2]，其中 $\overline { { \mathbf { x } } }$ 为样本平均数

（10分）（2011•辽宁）如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且$EC=ED$

（Ⅰ）证明：CD∥AB；

（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得$EF=EG$，证明：A、B、G、F四点共圆