2015 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3\}$ ，则

2．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，若 $a_{2}=4, a_{4}=2$ ，则 $a_{6}=$

3．重庆市 2013 年各月的平均气温（ ${ }^{\circ} C$ ）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是

4．＂$x>1$＂是＂ $\log _{\frac{1}{2}}(x+2)<0$＂的

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

正视图

左视图

俦视图

題（5）图

6．若非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3}|\boldsymbol{b}|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp(\mathbf{3} \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为

7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入 $K$ 的值为 8 ，则判断框图可填入的．条件是
A、 $s \leq \frac{3}{4}$
B、 $s \leq \frac{5}{6}$
C $\leq s \leq \frac{11}{12}$
D、 $s \leq \frac{15}{24}$

8．已知直线 $l: x+a y-1=0(a \in R)$ 是圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+1=0$ 的对称轴．过点 $A(-4, a)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则 $|A B|=$

9．若 $\tan \alpha=2 \tan \frac{\pi}{5}$ ，则 $\frac{\cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{10}\right)}{\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{5}\right)}=$

10．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 1，过 $F$ 作 $A F$ 的垂线与双曲线交于 $B, C$ 两点，过 $B, C$ 分别作 $A C, A B$ 的垂线交于点 $D$．若 $D$ 到直线 $B C$ 的距离小于 $a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

11．设复数 $a+b i(a, b \in R)$ 的模为 $\sqrt{3}$ ，则 $(a+b i)(a-b i)=$ $\_\_\_\_$ ．

12．$\left(x^{3}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{8}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）．

13．在 $\triangle A B C$ 中，$B=120^{\circ}, A B=\sqrt{2}, A$ 的角平分线 $A D=\sqrt{3}$，则 $A C=$ $\_\_\_\_$．

14．如图，圆 $O$ 的弦 $A B, C D$ 相交于点 $E$，过点 $A$ 作圆 $O$ 的切线与 $D C$ 的延长线交于点 $P$，若 $P A=6$， $A E=9, P C=3, C E: E D=2: 1$，则 $B E=$ $\_\_\_\_$．

题（14）중

15．已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-1+t \\ y=1+t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho^{2} \cos 2 \theta=4\left(\rho>0, \frac{3 \pi}{4}<\theta<\frac{5 \pi}{4}\right)$ ，则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点的极坐标为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 13 分，（1）小问 5 分，（2）小问 8 分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个。
（1）求三种粽子各取到 1 个的概率；
（2）设 $X$ 表示取到的豆沙粽个数，求 $X$ 的分布列与数学期望

18．（本小题满分 13 分，（1）小问 7 分，（2）小问 6 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sin x-\sqrt{3} \cos ^{2} x$
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期和最大值；

（2）讨论 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的单调性．

19．（本小题满分 13 分，（1）小问 4 要，（2）小问 9 分）
如题（19）图，三棱锥 $P-A B C$ 中，$P C \perp$ 平面 $A B C, P C=3, \angle A C B=\frac{\pi}{2} \cdot D, E$ 分别为线段 $A B, B C$上的点，且 $C D=D E=\sqrt{2}, C E=2 E B=2$ ．
（1）证明：$D E \perp$ 平面 $P C D$
（2）求二面角 $A-P D-C$ 的余弦值。

20．（本小题满分 12 分，（1）小问 7 分，（2）小问 5 分）
设函数 $f(x)=\frac{3 x^{2}+a x}{e^{x}}(a \in R)$
（1）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 在 $[3,+\infty)$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围。

21．（本小题满分 12 分，（1）小问 5 分，（2）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P, Q$两点，且 $P Q \perp P F_{1}$

（1）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程
（2）若 $\left|P F_{1}\right|=|P Q|$，求椭圆的离心率 $e$．

22．（本小题满分 12 分，（1）小问 4 分，（2）小问 8 分）
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=3, a_{n+1} a_{n}+\lambda a_{n+1}+\mu a_{n}{ }^{2}=0\left(n \in N_{+}\right)$
（1）若 $\lambda=0, \mu=-2$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\lambda=\frac{1}{k_{0}}\left(k_{0} \in N_{+}, k_{0} \geq 2\right), \mu=-1$ ，证明： $2+\frac{1}{3 k_{0}+1}