2015 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1、设集合 $A=\{x \mid-1<x<2\}$，集合 $B=\{x \mid 1<x<3\}$，则 $A \cup B=($

2、设向量 $a=(2,4)$ 与向量 $b=(x, 6)$ 共线，则实数 $x=($

3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（

4、设 $a, b$ 为正实数，则＂$a>b>1$＂是＂ $\log _{2} a>\log _{2} b>0$＂的（

5、下列函数中，最小正周期为 $\pi$ 的奇函数是

6、执行如图所示的程序框图，输出 $S$ 的值为（） 

7、过双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 $A , B$ 两点，则 $|A B|=()()$

8、某食品的保鲜时间 $y$（单位：小时）与储藏温度 $x$（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）满足函数关系 $y=e^{k x+b}(e=2.718 \ldots$ 为自然对数的底数，$k, b$ 为常数）．若该食品在 $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是 192 小时，在 $22{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 $33^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是

9、设实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y \leq 10 \\ x+2 y \leq 14 \\ x+y \geq 6\end{array}\right.$ 则 $x y$ 的最大值为（ ）

10、设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $A, B$ 两点，与圆 $C:(x-5)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $A B$ 中点，若这样的直线 $l$ 恰有4条，则 $r$ 的取值范围是

11、设 $i$ 是虚数单位，则复数 $i-\frac{1}{i}=$ $\_\_\_\_$ ．

12、 $\lg 0.01+\log _{2} 16=$ $\_\_\_\_$ ．

13、已知 $\sin \alpha+2 \cos \alpha=0$ ，则 $2 \sin \alpha \cos \alpha-\cos ^{2} \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

14、在三棱住 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}$，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设点 $M, N, P$ 分别是 $A B, B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $P-A_{1} M N$ 的体积是 $\_\_\_\_$． 

15、已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}, n= \frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$； ②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$； ③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$； ④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$． 其中真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

16．（本小题满分 12 分） 设数列 $\left\{a_{n}\right\}(n=1,2,3 \ldots)$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n}=2 a_{n}-a_{3}$，且 $a_{1}, a_{2}+1, a_{3}$ 成等差数列． （I）求数列的通项公式； （II）设数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，求 $T_{n}$．

19、（本小题满分 12 分） 已知 $A, B, C$ 为 $\triangle A B C$ 的内角， $\tan A, \tan B$ 是关于方程 $x^{2}+\sqrt{3} p x-p+1=0(p \in R)$ 两个实根． （I）求 $C$ 的大小 （II）若 $A B=1, A C=\sqrt{6}$，求 $p$ 的值

20、（本小题满分 13 分） 如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 在短轴 $C D$ 上，且 $\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P D}=-1$ （I）求椭圆 $E$ 的方程； （II）设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A , B$ 两点。是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}+\lambda \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．