2015 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）（2015•广东）若集合 $\mathrm{M}=\{-1,1\}, \mathrm{N}=\{-2,1,0\}$ 则 $\mathrm{M} \cap \mathrm{N}=$

2．（5分）（2015 •广东）已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $(1+i)^{2}=$

3．（5分）（2015 •广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

4．（5分）（2015 •广东）若变量 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y \leqslant 2 \\ x+y \geqslant 0 \\ x \leqslant 4\end{array}\right.$ ，则 $z=2 x+3 y$ 的最大值为 ）

5．（5分）（2015•广东）设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $a=2, c=2 \sqrt{3}$ ， $\cos \mathrm{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．且 $\mathrm{b}<\mathrm{c}$ ，则 $\mathrm{b}=$

6．（5分）（2015 •广东）若直线 $1_{1}$ 和 $1_{2}$ 是异面直线， $1_{1}$ 在平面 $\alpha$ 内， $1_{2}$ 在平面 $\beta$ 内， 1 是平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的交线，则下列命题正确的是

7．（5分） （2015 • 广东） 已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为

8．（5分）（2015 • 广东）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0$ ）的左焦点为 $\mathrm{F}_{1}(-4,0)$ ，则 $\mathrm{m}=$

9．（5分） （2015 －广东） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,-2), \overrightarrow{\mathrm{AD}}=(2,1)$ 则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{AC}}=$

10．（5 分）（2015 • 广东）若集合 $\mathrm{E}=\{(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r}, \mathrm{s}) \mid 0 \leq \mathrm{p}<\mathrm{s} \leq 4, ~ 0 \leq \mathrm{q}<\mathrm{s} \leq 4, ~ 0 \leq \mathrm{r}<\mathrm{s} \leq 4$ 且p ，$q, r, s \in N\}, F=\{(t, u, v, w) \mid 0 \leq t<u \leq 4,0 \leq v<w \leq 4$ 且t，$u, v, w \in N\}$ ，用card（X）表示集合X中的元素个数，则 card（E）＋card $(\mathrm{F})=$

11．（5分）（ $2015 \cdot$ 广东）不等式 $-x^{2}-3 x+4>0$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．（用区间表示）

12．（5分）（2015 • 广东）已知样本数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的均值 $\mathrm{x}=5$ ，则样本数据 $2 \mathrm{x}_{1}+1,2 \mathrm{x}_{2}+1, \ldots, 2 \mathrm{x}_{\mathrm{n}}+1$ 的均值为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）（2015 • 广东）若三个正数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 成等比数列，其中 $\mathrm{a}=5+2 \sqrt{6}, \mathrm{c}=5-2 \sqrt{6}$ ，则 $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ． ## 坐标系与参数方程选做题

14．（5分）（2015 • 广东）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho(\cos \theta+\sin \theta)=-2$ ，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2} \\ y=2 \sqrt{2} t\end{array}\right.$（t为参数），则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标为 $\_\_\_\_$ ． ## 几何证明选讲选做题

15．（2015•广东）如图， AB 为圆 O 的直径， E 为 AB的延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C ，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D ．若 $\mathrm{AB}=4$ ． $\mathrm{CE}=2 \sqrt{3}$ ，则 $\mathrm{AD}=$ $\_\_\_\_$ ． 

16．（12分）（ $2015 \cdot$ 广东）已知 $\tan \alpha=2$ ． （1）求 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值； （2）求 $\frac{\sin 2 \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\sin \alpha \cos \alpha-\cos 2 \alpha-1}$ 的值．

17．（12分）（ $2015 \cdot$ 广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160, ~ 180$ ），［ 180,200 ），［ 200,220 ），［220．240），［ 240,260 ），［ 260,280 ），［ 280,300 ）分组的频率分布直方图如图。  （1）求直方图中 x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为，［220，240），［240，260），［260，280），［280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 $[220,240)$ 的用户中应抽取多少户？

18．（14分）（ $2015 \cdot$ 广东）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直 ， $\mathrm{PD}=\mathrm{PC}=4, \mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=3$ ． （1）证明： $\mathrm{BC} \|$ 平面 PDA ； （2）证明： $\mathrm{BC} \perp \mathrm{PD}$ ； （3）求点 C 到平面 PDA 的距离． 

19．（14分）（ 2015 • 广东）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ．已知 $a_{1}=1, a_{2}=\frac{3}{2}, a_{3}=\frac{5}{4}$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $4 S_{n+2}+5 S_{n}=8 S_{n+1}+S_{n-1}$ （1）求 $\mathrm{a}_{4}$ 的值； （2）证明：$\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}\right\}$ 为等比数列； （3）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式．

20．（14分）（2015 • 广东）已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相交于不同的两点A，B． （1）求圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的圆心坐标； （2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数 k ，使得直线 $\mathrm{L}: \mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-4)$ 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．

21．（14分）（ $2015 \cdot$ 广东）设 a 为实数，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2}+|\mathrm{x}-\mathrm{a}|-\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)$ 。 （1）若 $f(0) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围； （2）讨论 $f(x)$ 的单调性； （3）当 $a \geq 2$ 时，讨论 $f(x)+\frac{4}{x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的零点个数． ## 2015年广东省高考数学试卷（文科）