2015 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

11．（5分）（ $2015 \cdot$ 广东）不等式 $-x^{2}-3 x+4>0$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．（用区间表示）

12．（5分）（2015 • 广东）已知样本数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的均值 $\mathrm{x}=5$ ，则样本数据 $2 \mathrm{x}_{1}+1,2 \mathrm{x}_{2}+1, \ldots, 2 \mathrm{x}_{\mathrm{n}}+1$ 的均值为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）（2015 • 广东）若三个正数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$
成等比数列，其中 $\mathrm{a}=5+2 \sqrt{6}, \mathrm{c}=5-2 \sqrt{6}$ ，则 $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

## 坐标系与参数方程选做题

14．（5分）（2015 • 广东）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho(\cos \theta+\sin \theta)=-2$ ，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2} \\ y=2 \sqrt{2} t\end{array}\right.$（t为参数），则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标为 $\_\_\_\_$ ．

## 几何证明选讲选做题

15．（2015•广东）如图， AB 为圆 O 的直径， E 为 AB的延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C ，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D ．若 $\mathrm{AB}=4$ ． $\mathrm{CE}=2 \sqrt{3}$ ，则 $\mathrm{AD}=$ $\_\_\_\_$ ．

16．（12分）（ $2015 \cdot$ 广东）已知 $\tan \alpha=2$ ．
（1）求 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值；
（2）求 $\frac{\sin 2 \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\sin \alpha \cos \alpha-\cos 2 \alpha-1}$ 的值．

17．（12分）（ $2015 \cdot$ 广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160, ~ 180$ ），［ 180,200 ），［ 200,220 ），［220．240），［ 240,260 ），［ 260,280 ），［ 280,300 ）分组的频率分布直方图如图。

（1）求直方图中 x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，［220，240），［240，260），［260，280），［280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 $[220,240)$ 的用户中应抽取多少户？

18．（14分）（ $2015 \cdot$ 广东）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直 ， $\mathrm{PD}=\mathrm{PC}=4, \mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=3$ ．
（1）证明： $\mathrm{BC} \|$ 平面 PDA ；
（2）证明： $\mathrm{BC} \perp \mathrm{PD}$ ；
（3）求点 C 到平面 PDA 的距离．

19．（14分）（ 2015 • 广东）设数列
$\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ．已知 $a_{1}=1, a_{2}=\frac{3}{2}, a_{3}=\frac{5}{4}$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $4 S_{n+2}+5 S_{n}=8 S_{n+1}+S_{n-1}$
（1）求 $\mathrm{a}_{4}$ 的值；
（2）证明：$\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}\right\}$ 为等比数列；
（3）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式．

20．（14分）（2015 • 广东）已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相交于不同的两点A，B．
（1）求圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；
（3）是否存在实数 k ，使得直线 $\mathrm{L}: \mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-4)$ 与曲线
C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．

21．（14分）（ $2015 \cdot$ 广东）设 a 为实数，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2}+|\mathrm{x}-\mathrm{a}|-\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)$ 。
（1）若 $f(0) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（3）当 $a \geq 2$ 时，讨论 $f(x)+\frac{4}{x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的零点个数．

## 2015年广东省高考数学试卷（文科）