2016 地方卷 数学

设i为虚数单位，则复数 $\left( 1 + i \right) ^ { 2 } =$

设集合 $A = \{ x | 1 \leq x \leq 5 \}$ ,Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是

抛物线 $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点坐标是

设 p:实数 x，y 满足 x >1且 $y > 1$ ，q: 实数 x，y 满足 $x + y > 2$ ，则 p 是 q 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

已知a 函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - 1 2 x$ 的极小值点，则 $a =$

某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：$lg1.12 =0.05$，$lg1.3=0.11$，$lg2=0.30)$

秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

设直线 $l _ { 1 } , \ l _ { 2 }$ 分别是函数 $f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { - { \ln x , 0 < x < 1 , } } \\ { { \ln x , x > 1 , } } \end{array} } \right.$ 图象上点 $P _ { 1 } , \ P _ { 2 }$ 处的切线， $l _ { 1 }$ 与 $l _ { 2 }$ 垂直相交于点 $P ,$
且 $l _ { 1 } , \ l _ { 2 }$ 分别与y 轴相交于点A，B，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积

正视图

侧视图

俯视图

从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则 $\log _ { a } b$ 为整数的概率=

已 知 函 数 f x( ) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 $0 < x < 1$ 时 ， $f ( x ) = 4 ^ { x }$ ， 则$f ( - \frac { 5 } { 2 } ) + f ( 1 ) =$

（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有 30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.

（12 分）

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC， $\angle A \mathrm { D C } = \angle \mathrm { P A B } = 9 0 ^ { \circ }$ $B C = C D = { \frac { 1 } { 2 } } A D$

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面 $\mathrm { P A B \perp }$ 平面 PBD.

（本题满分12分）

在 $\triangle A B C$ 中，角A,B,C所对的边分别是 $^ { a , b , c , }$ 且 ${ \frac { \cos A } { a } } + { \frac { \cos B } { b } } = { \frac { \sin C } { c } }$

（I）证明： $\sin A \sin B = \sin C$

（II）若 $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = \frac { 6 } { 5 } b c$ ，求 tan B .

（本小题满分 13 分）

已知椭圆 $E \colon \ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P ( \sqrt { 3 } , \frac { 1 } { 2 } )$ 在椭圆 E 上.

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点 O且斜率为 $\boldsymbol { \jmath } _ { \overline { { 2 } } } ^ { 1 } |$ 的直线l与椭圆E交于不同的两点 A，B，线段AB的中点为M，直线 OM与椭圆E交于C，D，证明： $\left| M A \right| \cdot \left| M B \right| = \left| M C \right| \cdot \left| M D \right|$