同角三角函数的基本关系　·　历年高考数学真题与解析

13．已知 $\alpha, \beta \in[0,2 \pi]$ ，且 $\sin (\alpha+\beta)=\sin (\alpha-\beta), \cos (\alpha+\beta) \neq \cos (\alpha-\beta)$ 。写出满足条件的一组 $\alpha, \beta$的值 $\alpha=$ $\_\_\_\_$，$\beta=$ $\_\_\_\_$．

13．已知 $\alpha$ 为第一象限角，$\beta$ 为第三象限角， $\tan \alpha+\tan \beta=4, \tan \alpha \tan \beta=\sqrt{2}+1$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)=$

8．已知 $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}$ ，则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$（ ）

14．若 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan \theta=\frac{1}{2}$ ，则 $\sin \theta-\cos \theta=$ $\_\_\_\_$ ．

10．已知 $O$ 为坐标原点，点 $P_{1}(\cos \alpha, \sin \alpha), P_{2}(\cos \beta,-\sin \beta), P_{3}(\cos (\alpha+\beta), \sin (\alpha+\beta))$ ， $A(1,0)$ ，则

11．若 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 \alpha=\frac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}$ ，则 $\tan \alpha=$

6．若 $\tan \theta=-2$ ，则 $\frac{\sin \theta(1+\sin 2 \theta)}{\sin \theta+\cos \theta}=()$

14．＂$\alpha=\beta$＂是＂ $\sin { }^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1$＂的

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{k} t, \\ y=\sin ^{k} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。以坐标原点为极点 ，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$ ．
①当 $k=1$ 时，$C_{1}$ 是什么曲线？
②当 $k=4$ 时，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标．

22．已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。
（1）将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{k} t, \\ y=\sin ^{k} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。以坐标原点为极点 ，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$ ．
①当 $k=1$ 时，$C_{1}$ 是什么曲线？
②当 $k=4$ 时，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标．

22．已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。
（1）将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程．

9．已知 $\alpha \in(0, \pi)$ ，且 $3 \cos 2 \alpha-8 \cos \alpha=5$ ，则 $\sin \alpha=$（ ）

10．已知 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), 2 \sin 2 \alpha=\cos 2 \alpha+1$ ，则 $\sin \alpha=$

11．已知 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), 2 \sin 2 \alpha=\cos 2 \alpha+1$ ，则 $\sin \alpha=$

15．V $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b \sin A+a \cos B=0$ ，则 $B=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ －

15．（5分）已知 $\sin \alpha+\cos \beta=1, \cos \alpha+\sin \beta=0$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}$ ．

15．（5分）已知 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan \alpha=2$ ，则 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ —• ．

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, c=\frac{3}{7} a$ ．
（1）求 $\sin \mathrm{C}$ 的值；
（2）若 $a=7$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

4．（5分）已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{4}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

5．（5分）若 $\tan \alpha=\frac{3}{4}$ ，则 $\cos ^{2} \alpha+2 \sin 2 \alpha=$（ ）

8．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$B=\frac{\pi}{4}, B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，则 $\cos A$ 等于（ ）

13、已知 $\sin \alpha+2 \cos \alpha=0$ ，则 $2 \sin \alpha \cos \alpha-\cos ^{2} \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

14、在锐角三角形 ABC 中， $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{2}, \mathrm{D}$ 为边 BC 上的点，$\triangle \mathrm{ABD}$ 与 $\triangle \mathrm{ACD}$ 的面积分别为 2 和 4 。过 D 作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{DF} \perp \mathrm{AC}$ 于 F ，则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}=$ $\_\_\_\_$ ．

6．若 $\sin \alpha=-\frac{5}{13}$ ，且 $\alpha$ 为第四象限角，则 $\tan \alpha$ 的值等于

9．若 $\tan \alpha=2 \tan \frac{\pi}{5}$ ，则 $\frac{\cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{10}\right)}{\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{5}\right)}=$

17．（本小题 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{3}$ 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 $\pi$．
（I）求 $\omega$ 和 $\varphi$ 的值；
（II）若 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{2 \pi}{3}\right)$，求 $\cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)$ 的值．

3．（5分）设 $\mathrm{a}=\sin 33^{\circ}, \mathrm{b}=\cos 55^{\circ}, \mathrm{c}=\tan 35^{\circ}$ ，则（ ）

13．（5分）已知 $\alpha$ 是第三象限角， $\sin \alpha=-\frac{1}{3}$ ，则 $\cot \alpha=\underline{2} \sqrt{2}$ —。

14、设 $\sin 2 \alpha=-\sin \alpha, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，则 $\tan 2 \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$．

15．（5分）设 $\theta$ 为第二象限角，若 $\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $\sin \theta+\cos \theta=-\frac{\sqrt{10}}{5}-$

15．（5分）设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

16．（5分）设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

（9） $4 \cos 50^{\circ}-\tan 40^{\circ}=$

14．（5分）已知 $a \in\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right), \tan \alpha=2$ ，则 $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$－

2．（5分）（2009•陕西）若 $\tan \alpha=2$ ，则 $\frac{2 \sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+2 \cos \alpha}$ 的值为

3．（5分）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cot \mathrm{A}=-\frac{12}{5}$ ，则 $\cos \mathrm{A}=$（ ）

4．若函数 $f(x)=(1+\sqrt{3} \tan x) \cos x, 0 \leq x<\frac{\pi}{2}$ ，则 $f(x)$ 的最大值为

4．（5分）已知 $\triangle A B C$ 中， $\cot A=-\frac{12}{5}$ ，则 $\cos A=$（ ）

5．（5分）（2009•陕西）若$3\sin\alpha+\cos\alpha=0$，则$\dfrac{1}{\cos^2\alpha+\sin2\alpha}$的值为（　　）

5．（5 分）（2008 • 四川）已知 $\tan \alpha=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=$（）

（8）若 $\cos a+2 \sin a=-\sqrt{5}$ ，则 $\tan a=$