2008 地方卷 · 理 数学

记等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}=\frac{1}{2}, S_{4}=20$ ，则 $S_{6}=(\mathrm{D})$

若变量 $x$，$y$ 满足 $\begin{cases} 2x+y\leqslant 40,\\ x+2y\leqslant 50,\\ x\geqslant 0,\\ y\geqslant 0, \end{cases}$ 则 $z=3x+2y$ 的最大值是（　　）

在平行四边形 $A B C D$ 中，$A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, E$ 是线段 $O D$ 的中点，$A E$ 的延长线与 $C D$ 交于点 $F$ ．若 $\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{B D}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{A F}=(\mathrm{B})$

已知 $\left(1+k x^{2}\right)^{6}$（ $k$ 是正整数）的展开式中，$x^{8}$ 的系数小于 120 ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。

经过圆 $x^{2}+2 x+y^{2}=0$ 的圆心 $C$ ，且与直线 $x+y=0$ 垂直的直线

方程是 $\_\_\_\_$ ．

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程分别为 $\rho \cos \theta=3$ ， $\rho=4 \cos \theta\left(\rho \geqslant 0,0 \leqslant \theta<\frac{\pi}{2}\right)$ ，则曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\_\_\_\_$ ．

（不等式选讲选做题）已知 $a \in \mathbf{R}$ ，若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+x+\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|=0$ 有实根，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=A \sin (x+\varphi)(A>0,0<\varphi<\pi), x \in \mathbf{R}$ 的最大值是 1 ，其图像经过点 $M\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$.
（1）求 $f(x)$ 的解析式；（2）已知 $\alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $f(\alpha)=\frac{3}{5}, f(\beta)=\frac{12}{13}$ ，求 $f(\alpha-\beta)$ 的值．

（本小题满分 14 分）
设 $k \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{1-x}, x<1 \\ -\sqrt{x-1}, x \geqslant 1\end{array}, F(x)=f(x)-k x, x \in \mathbf{R}\right.$ ，试讨论函数 $F(x)$ 的单调性．

（本小题满分 12 分）
设 $p, q$ 为实数，$\alpha, \beta$ 是方程 $x^{2}-p x+q=0$ 的两个实根，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=p$ ， $x_{2}=p^{2}-q, \quad x_{n}=p x_{n-1}-q x_{n-2}(n=3,4, \ldots)$.
（1）证明：$\alpha+\beta=p, \alpha \beta=q$ ；
（2）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）若 $p=1, q=\frac{1}{4}$ ，求 $\left\{x_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．