2008 天津卷 · 理 数学

$i$ 是虚数单位，$\frac{i^{3}(i+1)}{i-1}=$

设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geqslant 0, \\ x+y \leqslant 1, \\ x+2 y \geqslant 1 .\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=5 x+y$ 的最大值为

设函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right), x \in \mathbf{R}$ ，则 $f(x)$ 是

设 $a, b$ 是两条直线，$\alpha, \beta$ 是两个平面，则 $a \perp b$ 的一个充分条件是

设椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{m^{2}-1}=1(m>1)$ 上一点 $P$ 到其左焦点的距离为 3 ，到右焦点的距离为 1 ，则 $P$ 到右准线的距离为（）

设集合 $S=\{x| | x-2 \mid>3\}, T=\{x \mid a<x<a+8\}, S \cup T=\mathbf{R}$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

设函数 $f(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x}}(0 \leqslant x<1)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$ ，则（ ）

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+1, x<0, \\ x-1, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则不等式 $x+(x+1) f(x+1) \leqslant 1$ 的解集是（ ）

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数。令 $a=f\left(\sin \frac{2 \pi}{7}\right), b=f\left(\cos \frac{5 \pi}{7}\right), c=f\left(\tan \frac{5 \pi}{7}\right)$ ，则（ ）

有 8 张卡片分别标有数字 $1,2,3,4,5, ~ 6, ~ 7, ~ 8$ ，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ，则不同的排法共有（）

$\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{5}$ 的二项展开式中 $x^{2}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ ，则该正方体的表面积为 $\_\_\_\_$ ．

12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ ，则该正方体的表面积为 $\_\_\_\_$ ．

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A C}=(1,2), \overrightarrow{B D}=(-3,2)$ ，则 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．

13．已知圆 $C$ 的圆心与抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点关于直线 $y=x$ 对称，直线 $4 x-3 y-2=0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=6$ ，则圆 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$。

14．如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A C}=(1,2), \overrightarrow{B D}=(-3,2)$ ，则 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．

16．设 $a>1$ ，若仅有一个常数 $c$ 使得对于任意的 $x \in[a, 2 a]$ ，都有 $y \in\left[a, a^{2}\right]$ 满足方程 $\log _{a} x+\log _{a} y=c$ ，这时 $a$ 的取值的集合为 $\_\_\_\_$。

17．（本小题满分 12 分）
已知 $\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}, x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ ．
（I）求 $\sin x$ 的值；
（II）求 $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。

19．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形．已知 $A B=3, A D=2, P A=2$ ， $P D=2 \sqrt{2}, \quad \angle P A B=60^{\circ}$ ．
（ I ）证明 $A D \perp$ 平面 $P A B$ ；
（II）求异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成的角的大小；
（III）求二面角 $P-B D-A$ 的大小。

21．（本小题满分 14 分）
已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_{1}(-3,0)$ ，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x-2 y=0$ ．
（I）求双曲线 $C$ 的方程；
（II）若以 $k(k \neq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于两个不同的点 $M, N$ ，且线段 $M N$

的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围．